7 Тема: Комплексные числа

Комплексным числом z называется пара (x, y) действительных чисел x и y. При этом равенство, сумма и произведение упорядоченных пар, а также отождествление некоторых из них с действительными числами определяются следующим образом:

1) два комплексных числа z₁ = (x₁, y₁) и z₂ = (x₂, y₂) называются равными, если x₁ = x₂ и y₁ = y₂;

2) суммой комплексных чисел z₁ и z₂ называется комплексное число z вида

z = (x₁ + x₂, y₁ + y₂);

3) произведением комплексных чисел z₁ и z₂ называется комплексное число

z = (x₁x₂ - y₁y₂, x₁y₂ + x₂y₁);

4) множество комплексных чисел , отождествляется с множеством действительных чисел R.

Разностью комплексных чисел z₁ и z₂ называется комплексное число z такое, что z₂ + z = z₁, откуда находим z = z₁ - z₂ = (x₁ - x₂, y₁ - y₂).

Частным комплексных чисел z₁ и z₂ называется комплексное число z такое, что . Отсюда находим

Комплексное число (0, 1) обозначается символом i = (0, 1). Тогда , т. е. i² = -1. Произвольное комплексное число z можно записать в виде

z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + iy.

Эта запись называется алгебраической формой комплексного числа. Комплексное число называется сопряженным по отношению к комплексному числу z = (x, y) = x + iy.

Числа r и θ называют полярными координатами комплексного числа z. В этом случае

z = (x, y) = (r cos θ, r sin θ) = r(cos θ + i sin θ)

называется тригонометрической формой комплексного числа.

Для n-й степени числа z = (r cos θ, r sin θ) формула приобретает вид zⁿ = (rⁿ cos nθ, rⁿ sin nθ).

При r = 1 соотношение приобретает вид zⁿ = (cos nθ, sin nθ) и называется формулой Муавра.

Корень n-й степени из комплексного числа z имеет n различных значений, которые находятся по формуле

     (1)

Задания 1-го рубежного контроля

1. Вычислить определитель

2. Вычислить определитель

3. Решить систему уравнений

7. Вычислить расстояние между точками А(-2;-3) и В(1;1)

8. Вычислить расстояние от начала координат 0 до точки А(-4;3)

9. Найти угловой коэффициент прямой 2х-у+3=0

10. Найти уравнение прямой, проходящей через точки А(-1;3) и В(4;5)

11. Написать условие параллельности двух прямых

12. Найти угол между прямыми у=2х-3 и у=1/2х+5

13. Дано уравнение эллипса 24х²+49у²=1176. Найти полуоси а и в

14. Дано уравнение гиперболы 5х^2-4у²=20. Найти полуоси а и в

15. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку М(2;1;-1) и имеет нормальный вектор

16. Дано уравнение плоскости . Написать для нее уравнение в "отрезках" на осях координат

17. Канонические уравнения прямой в пространстве, проходящей через т. М₀(х₀,у₀) параллельно вектору

18. Найти: , если и

19. Найти: , если и

20. Найти модуль комплексного числа z = 4+3i

ДИСЦИПЛИНА: Математика 1

2-й рубежный контроль

Темы лекционных занятий

8-9 тема: Введение в анализ. Функция. Предел и непрерывность.

Глоссарий

№ п/п	Новые понятия	Содержание
1	Функция	Правило, закон, по которому каждому значению из некоторого множества Х соответствует единственный элемент из множества У.
2	Основные элементарные функции	Степенная , - действительное число; Показательная , > 0, Логарифмическая , > 0, Тригонометрические ; Обратные тригонометрические ,
3	Формула сложных процентов	, где величина - множитель наращения сложных процентов
4	Предел последовательности	Число А, к которому можно приблизиться с любой степенью точности при :
5	Предел функции в точке	Число А есть предел функции в т. х0, если > 0, >0, такое, что для всех , удовлетворяющих условию < выполняется неравенство < и записывается
6	Первый замечательный предел
7	Второй замечательный предел	или
8	Непрерывность функции в точке	Функция непрерывна в точке , если предел функции в точке равен значению функции в этой точке: