3 Тема: Элементы векторной алгебры.

а) операции над векторами

Обобщим понятия о векторах , известные со школьного курса геометрии

Вектором называется направленный отрезок АВ

Обозначается двумя заглавными или одной строчной буквой.

Длина(модуль) вектора АВ обозначается .

Два вектора расположенные на одной прямой или на двух паралельных прямых называются коллиниарными.

Три вектора расположенные в одной плоскости.

Суммой векторов и называется вектор = + , здесь вектор соединяет начало вектора с концом вектора (правило треугольника).

Кроме того, сумма векторов и определяется как диагональ параллелограмма, построенного на этих векторах (правило параллелограмма).

Произведением вектора на число k называется вектор =k* , удовлетворяющий условиям: 1.Длина = * 2. направление вектора совпадает с направлением вектора в, если k>0 и протиположно направленный если k<0 .

Аналогично можно определить сумму нескольких векторов, например сумма четырех векторов будет вектор начало которого совпадет сначалом вектора , а конец с концом вектора ( правило многоугольника).

Сумма векторов и ,не лежащих в одной или паралельных плоскостях, есть вектор определяемый диагональю параллепипеда построенного ан векторах (правило параллелпипеда).

Разность векторов и есть вектор равный сумме вектора и вектора противоположного вектору т.е. ( - ).

Если на векторах и построен параллелограмм, то одна диагональ есть сумма, а вторая есть их разность.

В двумерном пространстве вектор имеет координаты- ={х,y}, а в трехмерном пространстве = {х,у,z}.

Тогда для векторов и координаты суммы и разности будут определятся соответственно (1)

А координаты произведения вектора на число λ будут .

б) Скалярное произведение векторов.

Определение: Скалярным произведением ( ) векторов и называется число равное произведению длин векторов на косинус угла между ними

( ) = (2)

Определим скалярное произведение векторов и через координаты этих векторов. Для векторов , , скалярное произведение равно: (3).

Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений соответствующих координат. Если болса, то , =1 и , тогда длина вектора будет (4).

Угол между векторами и определяется по формуле

(5).

Таким образом, скалярное произведение применяется при нахождении длин и величин углов.

в) Векторное произведение векторов и его свойства

В векторном пространстве V рассмотрим ортонормированный базис R= . Пусть не коллениарные векторы.

Определение. Векторным произведением векторов и называется вектор, обозначаемый и удовлетворяющий следующим условиям:

1)

2)

3)Тройки векторов одинаково ориентированы.

Если векторы и коллинеарны (параллельны), то их векторное произведение равно нулю. Пусть векторы заданы своими координатами и неколлинеарны:

ТЕОРЕМА. Если

то

(8) формулу удобно записывать следующим образом:

(9)

Свойства векторного произведения.

Применение векторного произведения.

1. Модуль векторного произведения равен площади параллелограмма ABCD

2. Площадь треугольника равна :

Смешанное произведение векторов и его свойства .

Пусть положительно ориентированный ортонормированный базис.

Определение Смешанным произведением векторов называется число обозначаемое и равное скалярному произведению вектора на векторное произведение векторов и .

Таким образом, - число.

1-ТЕОРЕМА (геометрический смысл смешанного проиведения).Если - три некомпланарных вектора и , то абсолютное значение смешанного произведения равно объему параллелипипеда построенного на векторах :

(1)

2- ТЕОРЕМА. Если в базисе координаты векторов , то

(2)

Свойства смешанного произведения:

Применение смешанного произведения.

Пусть относительно прямоугольной системы координат тетраэдр ABCD задан своими вершинами:

. Тогда его объем находится по формуле:

.

4 тема: «Прямая на плоскости»

1. Различные уравнения прямой

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Если прямая проходит через точку В, лежащую на оси Оу, и отсекает на этой оси отрезок величиной Ь, то:

Это уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом. Числа к и Ь называются соответственно угловым коэффициентом прямой и начальной ординатой.

1.2 Уравнение прямой, проходящей через две точки

Уравнение прямой в отрезках

Как известно, две точки определяют единственную прямую, проходящую через эти точки. Поэтому, зная координаты двух произвольных точек прямой, можно составить ее уравнение.

1.3 Нормальное уравнение прямой

X cos + y sin - p = 0

2. Угол между двумя прямыми.

Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых

A₁ x + B₁y + C₁ = 0;

A₂ x +B₂ y + C₂ = 0.

Угол между нормальными векторами п =(А_1,B₁) и n₂ = (А₂,B₂) прямых (2.1) равен одному из углов между этими прямыми .

Отсюда следует, что необходимое и достаточное условие взаимной перпендикулярности двух прямых имеет вид

Если прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом, то условие перпендикулярности имеет вид .