Пермский институт (филиал) РЭУ им. Плеханова

“Теория вероятностей и математическая статистика”

Методические указания и задания к контрольной работе

по теме “Теория вероятностей и математическая статистика”

для всех специализаций и форм обучения

Пермь- 2014

Теория вероятностей и математическая статистика: Методические указания и задания для контрольной работы по теме “Теория вероятностей и математическая статистика”, для всех специализаций и форм обучения. - Пермь: Пермский институт (филиал) РЭУ им. Плеханова

Настоящие методические указания и контрольные задания составлены на основе требований государственного стандарта по дисциплине “Теория вероятностей и математическая статистика” для специальности.

Методические указания и контрольные задания подготовил

к.т.н. Вшивков О.Ю.

Обсуждены и одобрены на заседании кафедры от ________ ______ года, рекомендованы в качестве методических указаний, протокол № ___.

В контрольной работе каждый студент решает семь задач.

По темам 1, 3, 4, 5, 6 студент выбирает по одной задаче, по теме 2 – две задачи: номер варианта определяется последней цифрой зачетной книжки студента

Комбинаторика. Размещения. Перестановки. Сочетания

Соединения - различные подмножества множества X={x₁, x₂,..., x_n}, содержащие m элементов, причем 1  m  n.

Размещения из m элементов по n - это соединения, содержащие каждое по m элементов из n элементов множества Х, которые отличаются либо самими элементами, либо их порядком.

Число всевозможных размещений из n элементов по m в каждом равно:

, где n! = 1×2×3 ... (n-1) × n.

Например, имеется 6 учебных дисциплин, в расписании стоит 4 пары занятий в день. Число вариантов расписания на день =6*5*4*3=360.

Перестановки - это соединения, каждое из которых содержит n элементов и которые отличаются друг от друга только порядком элементов, т.е. это размещения из n элементов по n.

Число перестановок из n элементов равно P_n = n!.

Сочетания из n элементов множества Х по m - это соединения, которые отличаются по крайней мере одним элементом. Т.е. подмножества из m элементов множества n элементов, порядок которых не играет роли (различия в порядке элементов не меняют подмножества).

Число сочетаний из n элементов по m (n ³ m) в каждом равно:

.

Случайные события. Несовместные события. Сумма событий. Произведение событий

Теория вероятностей занимается изучением законо­мерностей случайных событий и случайных величин при массовом их проявлении.

Под случайным событием в теории вероятностей пони­мается событие, которое в результате опыта (испытания) может произойти или не произойти.

Событие называется достоверным, если оно обязательно появится в результате данного опыта, и невозможным, если оно не может появиться в этом опыте. События A₁, A₂,×××, A_n называются попарно несовместными, если наступление одного из них исключает появление любого другого. Суммой A₁+A₂+×××+A_n событий A₁, A₂,××, A_n называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий. Произведением A₁A₂×××A_n событий A₁, A₂,×××, A_n называется событие, состоящее в одновременном появлении всех этих событий.

Вероятность события. Частота события

Количественной мерой возможности появления события является вероятность. Наиболее широкое распростране­ние имеют два определения вероятности события: класси­ческое и статистическое.

Классическое определение вероятности события связано с понятием благоприятствующего исхода. Исход называется благоприятствующим данному со­бытию, если появление его влечет за собой появление этого события. Пусть в результате некоторых испытаний наблюдаемые исходы попарно несовместны и равновозможные. За вероятность собы­тия A принимается отношение числа благоприятствующих исходов к общему числу равно­возможных исходов:

,

где m — число исходов, благоприятствующих событию А, n — общее число возможных, исходов. Из определения следует, что 0£ Р(А) £ 1.

Статистическое определение вероятности связано с понятием частоты события. Частота события A вычисляется по формуле:

,

где m — число случаев появления события А в серии из n испытаний. Из определения следует, что 0£ Р^*(А) £ 1.

С увеличением числа испытаний частота Р^*(А) во мно­гих случаях стабилизируется около некоторой постоянной величины.

При статистическом определении вероятности за веро­ятность события А принимают то число, относительно которого стремится стабилизироваться частота Р^*(А) при увеличении числа испытаний.

Основные теоремы теории вероятностей

1. Теорема сложения.

Вероятность суммы двуx несовместных событий:

P(A + В) = P(A) + P(B)

Вероятность суммы двуx совместных событий:

P(A + В) = P(A) + P(B) - P(AB).

Пусть А и - противоположные события, тогда:

P(A) + Р( ) = 1.

2. Теорема умножения вероятностей.

Событие В называется независимым от А, если появление события А не изменяет вероятности наступления события В.

Условной вероятностью P(B/A) (или Р_А(В) )называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже произошло.

По определению:

Вероятность совместного появления двух событий A и B равна:

Р(АВ) = P(A)Р(В/A).

Для независимых событий A₁, A₂,…, A_n:

P(A₁A₂...A_n) = P(A_l)P(A₂)...P(A_n).

Вероятность появления хотя бы одного из событий A₁, A₂,×××, A_n, независимых в совокупности, равна:

P(A)= 1- q₁×q₂ ...q_n,

где q₁, q₂ ...q_n — вероятности появления каждого из событий A₁,A₂,××,A_n соответственно.