Вопрос 1.17 Принцип Суперпозиции . Групповая скорость. При́нцип суперпози́ции — один из самых общих законов во многих разделах физики. В самой простой формулировке принцип суперпозиции гласит:
результат воздействия на частицу нескольких внешних сил есть векторная сумма воздействия этих сил.
Любое сложное движение можно разделить на два и более простых.
Наиболее известен принцип суперпозиции в электростатике, в которой он утверждает, что напряженность электростатического поля, создаваемого в данной точке системой зарядов, есть сумма напряженностей полей отдельных зарядов.
Принцип суперпозиции может принимать и иные формулировки, которые полностью эквивалентны приведённой выше:
Взаимодействие между двумя частицами не изменяется при внесении третьей частицы, также взаимодействующей с первыми двумя.
Энергия взаимодействия всех частиц в многочастичной системе есть просто сумма энергий парных взаимодействий между всеми возможными парами частиц. В системе нет многочастичных взаимодействий.
Уравнения, описывающие поведение многочастичной системы, являются линейными по количеству частиц.
Групповая скорость — это величина, характеризующая скорость распространения «группы волн» - то есть более или менее хорошо локализованной квазимонохроматической волны (волны с достаточно узким спектром). Обычно интерпретируется как скорость перемещения максимума амплитудной огибающей квазимонохроматического волнового пакета (или цуга волн). В случае рассмотрения распространения волн в пространстве размерностью больше единицы подразумевается как правило волновой пакет близкий по форме к плоской волне[1].
Групповая скорость во многих важных случаях определяет скорость переноса энергии и информации квазисинусоидальной волной (хотя это утверждение в общем случае требует серьёзных уточнений и оговорок).
Групповая скорость определяется динамикой физической системы, в которой распространяется волна (конкретной среды, конкретного поля итп). В большинстве случаев подразумевается линейность этой системы (точно или приближенно).
Для одномерных волн групповая скорость вычисляется из закона дисперсии:
,
где 
— угловая
частота, 
— волновое
число.
Групповая
скорость волн в пространстве (например,
трехмерном или двумерном)
определяется градиентом частоты
по волновому
вектору 
:
или (для трехмерного пространства):
Замечание: групповая скорость вообще говоря зависит от волнового вектора (в одномерном случае - от волнового числа), то есть вообще говоря различна для разной величины и для разных направлений волнового вектора.
ГРУППОВАЯ
СКОРОСТЬ волн
- скорость движения группы или цуга
волн, образующих в каждый данный момент
времени локализованный в пространстве волновой
пакет,
огибающая к-рого представляет собой
плавную в масштабе длины волны 
кривую
(рис. 1) (см. Волны).
В линейных
средах, где соблюдается суперпозиции
принцип,
его можно рассматривать как набор
гармонич. волн с частотами в интервале 
),
тем более узком, чем плавнее и протяжённее
огибающая группы. Длина пакета 
и
ширина его спектра 
ограничены
снизу соотношением 
,
гдеволновое
число k связано
с частотой 
дисперсионным
соотношением 
.
Если
среда не обладает дисперсией, то все
гармонич. волны распространяются с
одной и той же фазовой скоростью, и пакет
ведёт себя как строго стационарная
волна - его Г. с. совпадает с фазовой
скоростью 
.
При наличии дисперсии
волны разл.
частот распространяются с разными
скоростями и форма огибающей искажается.
Однако для сигналов с достаточно узким
спектром, когда фазовые скорости
гармонич. волн, образующих волновой
пакет, мало отличаются друг от друга, и
на не слишком больших расстояниях, когда
форма огибающей приближённо сохраняется,
влияние дисперсии сказывается лишь на
скорости перемещения огибающей, к-рая
и есть Г. с. Поскольку распространение
двух синусоидальных волн с близкими
частотами 
пакета
описывается выражениями
то
скорость их огибающей равна 
,
что в пределе приводит к ф-ле 
.
На рис. 2 представлены три последовательных
мгновенных снимка сигнала с узким
спектром, распространяющегося в среде
с дисперсией. Наклон пунктирных прямых,
соединяющих точки одинаковой фазы
(напр., максимумы), характеризует фазовую
скорость; наклон прямых, соединяющих
соответствующие точки огибающей (начала
и конца сигнала), характеризует Г. с.
сигнала. Если при распространении
сигнала максимумы и минимумы движутся
быстрее, чем огибающая, то это означает,
что фазовая скорость данной группы волн
превышает её Г. с. (рис. 2, а). При
распространении сигнала в его "хвостовой"
части возникают всё новые максимумы,
к-рые постепенно перемещаются вперёд,
достигают его головной части и там
исчезают. Такое положение имеет место
в случае т. н. нормальной дисперсии, т.
е. в средах, где показатель
преломления 
увеличивается
с ростом частоты гармонич. волны 
.
Такую дисперсию наз. также отрицательной,
поскольку с ростом k фазовая
скорость волны убывает. Примеры сред с
нормальной дисперсией - вещества,
прозрачные для оптич. волн, волноводы,
изотропная плазма и
др. Однако в ряде случаев наблюдается
аномальная (положительная) дисперсия
среды 
;
в этих случаях Г. с. сигнала превышает
его фазовую скорость 
.
Максимумы и минимумы появляются в
передней части сигнала (рис. 2, б),
перемещаются назад и исчезают в его
хвосте. Аномальная дисперсия характерна
для капиллярных волн на поверхности
воды (
),
для эл--магн. и акустич. волн в средах с
резонансным поглощением, а также при
определ. условиях - для волн в периодич.
структурах (кристаллы, замедляющие
системы и т. п.). При этом возможна даже
ситуация, при к-рой Г. с. направлена
противоположно фазовой. Волны, обладающие
этим свойством, наз. обратными.
Вопрос 1.18 Стоячие волны Когда две одинаковые волны с равными амплитудами и периодами распространяются навстречу друг другу, то при их наложении возникают стоячие волны. Стоячие волны могут быть получены при отражении от препятствий. Допустим, излучатель посылает волну к препятствию (падающая волна). Отраженная от него волна наложится на падающую волну. Уравнение стоячей волны можно получить сложением уравнения падающей волны
и
уравнения отраженной волны
Отраженная
волна движется в направлении,
противоположном падающей волне, поэтому
расстояние х берем со знаком минус.
Смещение точки, которая участвует
одновременно в двух колебаниях, равно
алгебраической сумме 
.
После несложных преобразований, получаем
|
(8.15) |
Это уравнение стоячей волны определяет смещение любой точки волны.
Величина |
(8.16) |
не
зависит от времени и определяет амплитуду
любой точки с координатой х. Каждая
точка совершает гармоническое колебание
с периодом Т. Амплитуда Аст для
каждой точки вполне определена. Но при
переходе от одной точки волны к другой
она изменяется в зависимости от расстояния
х. Если придавать х значения, равные 
и
т.д., то при подстановке в уравнение
(8.16) получим 
.
Следовательно, указанные точки волны
остаются в покое, т.к. амплитуды их
колебаний равны нулю. Эти точки называются
узлами стоячей волны. Точки, в которых
колебания происходят с максимальной
амплитудой, называются пучностями.
Расстояние между соседними узлами (или
пучностями) называются длиной стоячей
волны и равно
где λ - длина бегущей волны.
В стоячей волне все точки среды, в которой они распространяются, расположенные между двумя соседними узлами, колеблются в одной фазе. Точки среды, лежащие по разные стороны от узла, колеблются в противофазе -фазы их отличаются на π. т.е. при переходе через узел фаза колебаний скачкообразно меняется на π. В отличие от бегущих волн в стоячей волне отсутствует перенос энергии вследствие того, что образующие эту волну прямая и обратная волны переносят энергию в равных количествах и в прямом и в противоположном направлениях. В том случае, когда волна отражается от среды более плотной, чем та среда, где распространяется волна, в месте отражения возникает узел, фаза изменяется на противоположную. При этом говорят, что происходит потеря половины волны. Когда волна отражается от среды менее плотной в месте отражения, появляется кучность, и потери половины волны нет.