Вопрос 1.14 Распространение волн в упругой среде

Колебания, возбужденные в какой-либо точке среды (твердой, жидкой или газообразной), распространяются в ней с конечной скоростью, зависящей от свойств среды, передаваясь от одной точки среды кдругой.

Колеблющиеся тело, помещенное в упругую среду, являетсяисточником колебаний, распространяющихся от него во все стороны.

Процесс распространения колебаний в среде называется волной.Основным свойством всех волн, независимо от их природы, является перенос энергии без переносавещества.

Волны бывают поперечными и продольными. В поперечной волнеколебания происходят в плоскости, перпендикулярной направлению распространения. Упругие поперечные волны возникают в среде обладающие сопротивлением сдвигу:

• в жидкой и газообразной средах – продольные волны

• твердые – поперечные и продольные.

В однородной среде направление распространения перпендикулярно фронту волны.

Расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковой фазе, называется длиной волны λ.

где v – скорость распространения волны, T – период.

- скорость распространения волны.

Вопрос 1.15 Уравнения плоской и сферической волн

Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью. Волновые поверхности могут быть любой формы. В простейшихслучаях волновые поверхности имеют форму плоскости или сферы, соответственно волны называются плоскими или сферическими.В плоской волне волновые поверхности представляют собой систему параллельных друг другу плоскостей, в сферической волне – систему концентрических сфер.

Уравнением волны – называется выражение, которое дает смещение колеблющейся точки как функцию ее координат (x, y, z) и времени t.

=f(x,y,z,t)= (x,y,z,t)

Уравнение плоской волны

В случае плоской волны предполагая, чтоколебания носятгармонический характер.

Направим оси координат так, чтобы ось x совпадала с направлением распространения волны. Тогда волновая поверхность будет перпендикулярна оси x. Так как все точки волновой поверхности колеблютсяодинаково, смещение ξ будет зависеть только от х и t. ξ = ξ(x,t) . Пустьколебания точек, лежащих в плоскости x = 0 имеет вид (при начальнойфазе φ = 0):

- это уравнение плоской волны. (1)

Таким образом, ξ – есть смещение любой из точек с координатой

x в момент времени t.

В общем виде, уравнение плоской волны записывается так:

или (2)

Выражения (1 и 2) есть уравнения бегущей волны.

Введем волновое число . Так как , то .Отсюда . Тогда уравнение плоской волны запишется так:

Уравнение сферической волны

или (3)

гдеА– равна амплитуде на расстоянии от источника равном единице.

Уравнение (3) неприменимо для малых r, т.к. при r →0 . Амплитуда стремится к бесконечности. То, что амплитуда колебанийA ∼ , следует из рассмотрения энергии, переносимой волной.

Вопрос 1.16 Волновое уравнение. Фазовая скорость.  Волновое уравнение − линейное дифференциальное уравнение в частных производных, описывающее малые колебания струны, колебательные процессы в сплошных средах и в электродинамике.      В общем случае волна, распространяющаяся в пространстве, описывается уравнением

(1)

где u = u(x,y,z,t) − возмущение в точке x,y,z в момент времени t, v − скорость распространения волны. Уравнение (1) инвариантно относительно замены v → -v.

Фа́зовая ско́рость — скорость перемещения точки, обладающей постоянной фазой колебательного движения, в пространстве вдоль заданного направления. Обычно рассматривают направление, совпадающее с направлением волнового вектора, и фазовой называют скорость, измеренную именно в этом направлении, если противное не указано явно (то есть если явно не указано направление, отличное от направления волнового вектора)

-скорость перемещения фазы волны в определ. направлении. В случае монохроматич. плоской волны вида   (где А - амплитуда, j-фаза, w-круговая частота, k - волновое число, t- время, х - расстояние, отсчитываемое в направлении распространения волны) фазовые фронты или плоскости пост. фазы j=const перемещаются в пространстве вдоль л: с Ф. с.   Однако в любом ином направлении ;x, составляющем с х угол a(x=xcosa), скорость перемещения фазы превышает u _х, поскольку   (рис.). Т. о., в отличие от волнового вектора k, Ф. с. не является векторной величиной в обычном смысле и может даже произвольно превышать скорость распространения света с. Волны с u _ф>c наз. быстрыми, а с u _ф<c -медленными. Различают также прямые волны, фазовые и групповые скорости в к-рых направлены в одну сторону, и обратные волны, в к-рых эти скорости направлены противоположно друг другу.