Операции над двоично-десятичными числами в упакованном формате без учета знака

Суммирование двоично–десятичных чисел можно производить по правилам обычной двоичной арифметики, а затем производить двоично-десятичную коррекцию. Двоично-десятичная коррекция заключается в дополнительном суммировании числа шесть (число запрещенных комбинаций) с тетрадой, в которой произошло переполнение или произошел перенос в старшую тетраду.

Рассмотрим три примера:

1. 2)

0001 1000 + 0001 0011		0010 1011 + 0000 0110		0001 1001 + 0001 1001		0011 0010 + 0000 0110
0010 1011		0011 0001		0011 0010		0011 1000

3)

488 (10) 0100 1000 1000

+ +

39 0000 0011 1001

0100 1100 0001

+ 0000 0110 0110 Выполняем коррекцию

0101 0010 0111 Результат

Контрольные вопросы:

1. Системы счисления. Перевод целых чисел из одной системы счисления в другую.

2. Системы счисления. Перевод дробных чисел из одной системы счисления в другую.

3. Формы представления чисел в компьютере.

4. Кодирование чисел в компьютере и действия над ними.

5. Преобразование чисел из естественной формы в нормализованную. Общий алгоритм по нормализации числа.

6. Кодирование целых чисел без знака.

7. Кодирование целых чисел со знаком. Прямой, дополнительный, обратный, смещенный коды.

8. Кодирование вещественного числа. Арифметические операции над вещественным числом.

9. Арифметические операции над целыми числами.

10. Двоично-десятичное представления чисел (упакованные и распакованные форматы). Операции над двоично-десятичными числами.

Лекция 4 Логические основы построения эвм

Для анализа и синтеза (создания) цифровых систем используется математический аппарат алгебры логики. Алгебра логики – это раздел математической логики, все элементы (функции и аргументы) которой могут принимать только два значения: 0 и 1.

Функция, однозначно определяющая соответствие каждой совокупности значений аргументов нулю или единице, называется функцией алгебры логики (ФАЛ). ФАЛ представляет собой алгебраическое выражение, содержащее переменные-аргументы, связанные между собой логическими операциями.

Любая ФАЛ состоит из одной или более элементарных ФАЛ.

Элементарной называется ФАЛ одного или двух аргументов, в логическом выражении которой содержится не более одной логической операции.

Технически ФАЛ реализуются специальными электрическими схемами, называемыми логическими элементами.

Логические элементы изготавливаются в виде интегральных микросхем, причем один корпус микросхемы содержит, как правило, несколько независимых однотипных логических элементов.

Законы алгебры логики:

1. сочетательный закон: aÙ(bÙс) = (аÙb) Ùс, аÚ(bÚс) = (аÚb)Úс, а Å (b Å с) = (а Å b) Å с;

2. переместительный закон: аÙb = bÙа, аÚb = bÚа, а Å b = b Å а;

3. р аспределительный закон: аÙ(bÚс) = (аÙb)Ú(аÙс), аÚ(bÙс) = (аÚb)Ù(аÚс), аÙ(bÅ с) = (аÙb)Å (аÙс)

4. закон двойной инверсии: а = а;

5. закон двойственности (правила де Моргана): аÚb = аÙb, аÙb = аÚb;

6. закон поглощения: а Ú аÙс = а, aÙ(aÚc) = a;

7. закон склеивания: аÙс Ú aÙc = a, (aÚс)Ù(aÚc) = a;

Тождества алгебры логики:

1. х Ú х = х, 2) х Ù х = х, 3) х Å х = 0,

4) х Ú х = 1, 5) х Ù х = 0, 6)х Å х = 1, 7) х Ú 1 = 1, 8) х Ù 1 = х, 9) х Å 1 = х,

10) х Ú 0 = х, 11) х Ù 0 = 0, 12) х Å 0 = х.

Здесь символ - Ú обозначает операцию «дизъюнкция», символ Ù – операцию «конъюнкция», а символ Å – операцию «сумма по модулю два».

Обозначения базовых логических элементов

	– элемент И		– элемент ИЛИ
	– элемент НЕ		– элемент ИЛИ–НЕ
	– элемент И–НЕ		– исключающее ИЛИ (сложение по модулю 2)

Таблицы истинности

Операция	Логический элемент		Таблица истинности			Функция
	Условное графическое обозначение	Название	a	b	y
Отрицание (инверсия)	a y	НЕ (инвертор)	0 1		1 0	у = а
Дизъюнкция	a y b	ИЛИ	0 0 1 1	0 1 0 1	0 1 1 1	у = aÚb
Конъюнкция	a y b	И	0 0 1 1	0 1 0 1	0 0 0 1	у = aÙb
Сумма по модулю 2	a y b	Исключающее ИЛИ	0 0 1 1	0 1 0 1	0 1 1 0	у = aÅ b = = a
Равнозначность	a y b	Равнозначность	0 0 1 1	0 1 0 1	1 0 0 1	у = a∾b = =

Высказывания, образованные с помощью нескольких логических операций называются сложными. Истинность их устанавливают, используя таблицы истинности соответствующих операций.

Полусумматор

Полусумматор реализует сложение 2-х одноразрядных двоичных чисел А и В. В результате получается, вообще говоря, 2-х разрядно двоичное число. Его младшую цифру обозначим S , а старшую, которая при сложении многоразрядных чисел будет перенесена в старший разряд, через С 0 Тогда используя таблицы истинности и перебирая все четыре (00 01 10 00)возможные случая значений А, В обе цифры S и С0 можно, оказывается, получить по следующим логическим формулам S= (Ā& В) V (А& В), С0 = (А& В)

Таблица истинности для полусумматора.

A	B	S	C0
0	0	0	0
0	1	1	0
1	0	1	0
1	1	0	1

Логическая схема полусумматора

Рисунок 10

Выполнение операций над многоразрядными числами

Пример: А=10111001 В=1101

А&B= 1 0 1 1 1 0 0 1 А \/ B= 1 0 1 1 1 0 0 1

&0 0 0 0 1 1 0 1 \/ 0 0 0 0 1 1 0 1

0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1

АÅB= 1 0 1 1 1 0 0 1 А ºB= 1 0 1 1 1 0 0 1

Å 0 0 0 0 1 1 0 1 º 0 0 0 0 1 1 0 1

1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1

Этапы синтеза переключательных схем

1. Образование СДНФ (СКНФ) функции по заданной таблице истинности.

2. Упрощение этой функции (преобразованию СДНФ (СКНФ) в формулу с наименьшим числом вхождений переменных);

3. Построение соответствующей схемы

Образование СДНФ функции по заданной таблице истинности

Этот этап включает в себя:

1. в заданной таблице истинности выделяют наборы значений аргументов, при которых функция принимает единичное значение;

2. для каждого выделенного набора образуется конституэнта единицы (минтерм), принимающая единичное значение при данном наборе значений аргументов;

3. составляется логическая сумма образованных конституэнт единицы.

Для образования конституэнты единицы С¹_i , принимающей единичное значение в i-ом наборе значений аргументов необходимо составить логическое произведение аргументов, в которое аргументы, принимающие в i- м наборе единичное значение, входят без знака отрицания, а аргументы, принимающие в i –м наборе новое значение

При образовании совершенной конъюнктивной нормальной формы (СКНФ) функции:

1. в таблице выделяются наборы значений аргументов, при которых функции принимает нулевое значение;

2. для каждого выделенного набора образуется конституэнта поля, принимавшая нулевое значение при данном наборе значений аргументов;

3. составляется логическое произведение образованных конституэнт ноля.

Упрощение функции

При преобразовании СДНФ (СКНФ) в формулу с наименьшим числом вхождений переменных (миними­зация формулы) используют аксиомы и законы булевой алгебры

• вынос за скобки XY v XZ= X(Y v Z);

• полное склеивание ХY v Х Y = X;

• поглощение Х v XY= X;

• минимизация по методу Квайна;

• минимизация с использованием карт Карно или диаграмм Вейча.

При минимизации по методу Квайна предполагается, что исходная функция задана в СДНФ. Введем несколько определений. Конъюнкция, получаемая в результате склеивания двух конституэнт единицы, называется импликантой.

Импликанта поглощает конституэнты единицы, при склеивании которых она образовалась.

Для логических схем И, ИЛИ, НЕ существуют типовые технические схемы (логические элементы), реализующие их на полупроводниковых структурах, т.е. аппаратно.

Использование знаков 0 и1 подчеркивает некоторое соответствие между значениями логических переменных и функций в математической логике и цифрами в двоичной системе счисления.

Это позволяет описывать работу логических схем ПК и проводить их анализ и синтез с помощью математического аппарата алгебры логики. Любое устройство ПК - некоторый функциональный преобразователь. Причем входы- значения логических переменных, выход - значения логических функций, т.е. устройство ПК ~ функция.

Логический элемент- часть электронной логической схемы, которая реализует элементарную логическую функцию.