Теорема Крамера.:если определитель системы n линейных уравнений с n неизвестными отличен от нуля то система совместна и имеет единственное решение х, которое определяется по формулам: , .
Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличного от нуля определителя, который можно построить из элементов данной матрицы.
Теорема Кронекера-Капелли (критерий совместности системы линейных уравнений): система mxn линейных уравнений совместна, если ранг матрицы системы r равен рангу её расширенной матрицы, причем, если r = n (ранг матрицы равен числу неизвестных), то система имеет единственное решение; если r < n, то система имеет бесчисленное множество решений.
Алгоритм Гаусса для нахождения решения системы линейных уравнений состоит в том, чтобы получить расширенную матрицу системы
трапециевидной формы.
Раздел "Аналитическая геометрия"
Вектором называют направленный отрезок.
В трехмерном пространстве каждый вектор может быть единственным образом представлен в виде разложения по ортам
прямоугольной системы координат, т.е.
в виде:
,
где
– координаты вектора.
3. Длиной или модулем вектора называют длину отрезка, изображающего вектор. Модуль вектора выражается через его координаты формулой .
Если вектор задан координатами его конца (точка ) и начала (точка ), то координаты вектора определяются выражением
.
Коллинеарными называются векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых.
Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.
Условие коллинеарности векторов в координатной форме:
.
Скалярным произведением векторов и называется число, равное произведению модулей векторов на косинус угла между ними:
.
Скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат векторов (скалярное произведение векторов в координатной форме):
.
Косинус угла между векторами определяется с помощью скалярного произведения:
.=
.
Векторным произведением векторов и называется вектор
,
модуль которого равен произведению
модулей векторов
и
на синус угла между ними, а направление
вектора
перпендикулярно векторам
и
,
причем векторы
,
,
образуют правую тройку векторов.Модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на векторах и :
.Векторное произведение в координатной форме может быть записано с помощью определителя:
.
Смешанным произведением векторов , , называется число, равное скалярному произведению вектора на векторное произведение
..Общее уравнение прямой:
.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом:
,
где k = tg – угловой коэффициент прямой, – угол, образованный прямой с осью Оx; b – отрезок, отсекаемый прямой на оси ординат.
Уравнение прямой, проходящей через заданную точку в данном направлении:
,
где k– угловой коэффициент прямой, – некоторая точка, принадлежащая прямой.
Уравнение прямой в отрезках:
,
где a и b –отрезки, отсекаемые прямой на осях координат.
Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки и :
.