Вариант № 10 Задание № 1

1. Вычислить линейную комбинацию матриц А и В.

Дано: , . Найти: 4А – 3В.

2. Вычислить произведение матриц: .

3. Найти матрицу, обратную данной: A= .

4. Вычислить определитель, используя подходящее разложение по строке или столбцу .

5. Вычислить ранг матрицы .

6. Решить систему линейных уравнений с помощью формул Крамера:

7. Методом Гаусса исследовать совместность и найти общее решение системы:

.

Задание № 2

1. Проверить коллинеарность векторов и , построенных на векторах и , если

2. Найти косинус угла между векторами и , если даны координаты точек:

А (6; – 4; 2); В (4; 2; 12); С (2; 6; – 4).

3. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах и , если:

а) ;

в) .

4. Составить уравнение стороны АВ треугольника, если точки А (2; 6) и С (– 4, 8) – его вершины, а М (4, 2) –точка пересечения его высот.

5. В эллипс вписана окружность , пересекающая большую ось в фокусах, лежащих на оси OY. Составить уравнение эллипса. Сделать чертеж.

6. Написать разложение вектора по базису если ,

.

5. Основные формулы, термины и определения Раздел "Линейная алгебра"

1. Матрицей размера mxn называется совокупность m n выражений, расположенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов.

2. Квадратной матрицей порядка n называется матрица, в которой m = n, т.е. число строк равно числу столбцов.

3. Матрицей-строкой (вектор строкой) называется матрица размером, состоящая из одной строки.

4. Матрицей-столбцом (вектор строкой) называется матрица размером, состоящая из одного столбца.

5. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей и обозначается 0 или (0)_mxn (в алгебре матриц эта матрица играет роль нуля).

6. Квадратная матрица, в которой отличны от нуля только элементы, стоящие на главной диагонали, называется диагональной

7. Диагональная матрица, в которой все элементы главной диагонали – единицы, называется единичной матрицей и обозначается символом E.

8. :Минором M_ij элемента a_ij определителя  порядка n называется определитель порядка (n-1), получающийся из  вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.

9. Алгебраическим дополнением А_ij элемента a_ij называется минор М_ij этого элемента, взятый со знаком "+" или "–" согласно формуле:

.

10. Теорема разложения: определитель равен сумме произведений всех элементов какой-либо строки (или какого-либо столбца) на их алгебраические дополнения.

11. Обратной матрицей по отношению к квадратной матрице А порядка n называется матрица А^-1 порядка n, удовлетворяющая равенству:

.

12. Вырожденная (особенная) матрица – матрица, определитель которой равен нулю (detA = 0).

13. Система линейных уравнений – система, в которой заданы m линейных уравнений с n неизвестными и требуется найти n чисел, которые одновременно удовлетворяют каждому из m уравнений.

14. Матричная запись системы линейных уравнений (или матричное уравнение):

.

15. Матричное решение системы (метод обратной матрицы):

.