2. Примерный вариант контрольной работы №1 Задание 1 по разделу "Линейная алгебра"

1. Вычислить линейную комбинацию матриц А и В:

Дано: , . Найти: 3А – 2В.

2. Вычислить произведение матриц:

а) .

б) .

3. Найти матрицу, обратную данной: A= .

4. Вычислить определитель .

5. Вычислить ранг матрицы .

6. Решить систему линейных уравнений с помощью формул Крамера:

.

7. Методом Гаусса исследовать совместность и найти общее решение системы:

а)

;

б)

;

в)

Задание 2 по разделу "Аналитическая геометрия"

1. Найти координаты и проверить коллинеарность векторов и , построенных на векторах и , если .

2. Найти косинус угла между векторами и , если даны координаты точек:

А (-1; 2; -3); В (3; 4; -6); С (1; 1; -1).

3. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах и , если:

а). ;

в) .

4. а) Составить уравнение стороны АС треугольника, если точки А (-3; 4) и В (2, 3) – его вершины, а М (1, 1) –точка пересечения его высот.

б) Составить уравнение прямой, проходящей через точку С, которая делит отрезок МК в отношении 1:3, параллельно прямой , если М (-3; 4), К (11,0).

в) В треугольнике с вершинами А (-2; 0), В (2; 6) и С (4; 2) найти уравнение стороны АС, медианы ВЕ и высоты ВD.

Ответ: x – 3y + 2 = 0; 5x – y –4 =0; 3x + y – 12 = 0.

5. а) В эллипс вписана окружность , пересекающая большую ось в фокусах, лежащих на оси OY. Составить уравнение эллипса. Сделать чертеж.

б) Составить уравнение окружности с центром в одной из вершин эллипса и проходящей через фокус параболы . Сделать чертеж.

в) Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси OY симметрично относительно начала координат, зная, что расстояние между фокусами равно 10, а угол между асимптотами кривой равен 60⁰. Сделать чертеж.

Ответ: 4y² – 12x² = 75.

5. Написать разложение вектора x по базису p, q, r, если x = (11: –6: 5),

p = (3; –2; 1), q = (–1; 1; –2), r = (2; 1; –3).

Ответ: x = 2p – 3q +r.

3. Решение примерного варианта кр №1 Задание 1 по разделу "Линейная алгебра"

Задача 1. Вычислить линейную комбинацию матриц А и В.

Дано: , .

Найти: 3А – 2В.

Решение

1. Найдем 3А и 2В - произведения матриц на число, умножая каждый элемент матриц на соответствующее число:

;

.

2. Вычислим поэлементно искомую разность полученных матриц:

.

Ответ: .

Задача 2. Вычислить произведение матриц:

а) .

Решение

1. Определим размер матрицы-произведения: .

2. Найдем элементы с_ij матрицы-произведения как сумму произведений элементов i –ой строки матрицы А на соответствующие элементы j –го столбца матрицы В:

.

Ответ: .

б) .

Решение

1. Определим размер матрицы-произведения: .

2. Найдем элементы с_ij матрицы-произведения С:

.

Ответ: .

Задача 3. Найти матрицу, обратную данной: A= .

Решение

Для нахождения обратной матрицы воспользуемся формулой:

, (1)

где

• detA - определитель матрицы А;

• - присоединенная матрица, составленная из алгебраических дополнений элементов матрицы А;

• * - символ транспонирования матрицы.

1. Вычислим определитель матрицы:

Определитель матрицы , следовательно, матрица А – невырожденная и обратная матрица существует.

2. Составим присоединенную матрицу

,

где - алгебраические дополнения, - миноры элементов матрицы А, связь между которыми выражается формулой:

. (2)

Минор элемента определяется как определитель, получающийся из исходной матрицы вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых находится элемент.

3. Транспонируем матрицу , т.е. поменяем местами строки и столбцы матрицы:

.

4. Вычислим обратную матрицу по формуле (1):

.

5. Сделаем проверку. Согласно определению обратной матрицы

, (3)

где Е – единичная матрица.

Вычислим произведение :

.

Аналогично можно показать, что выполняется равенство .

Ответ: .

Задача 4. Вычислить определитель .

Решение

Для вычисления определителя четвертого порядка используем теорему о разложении определителя, согласно которой определитель n –го порядка Δ равен сумме произведений элементов какой-либо строки или какого либо столбца на их алгебраические дополнения, т.е.:

, ; (4)

или

, (5)

где - алгебраические дополнения элементов; i – номер строки, j – номер столбца определителя Δ.

Разложим исходный определитель четвертого порядка (n = 4) по элементам второго столбца (j = 2), тогда формула (5) для вычисления определителя принимает вид:

. (6)

Пользуясь свойствами определителей, упростим вычисление определителя по формуле (6), обратив в нули все элементы второго столбца, кроме элемента . Чтобы получить нули во втором столбце определителя, прибавим элементы первой строки (умноженные на 1) к соответствующим элементам второй и четвертой строк и вычтем из соответствующих элементов третьей строки:

.

Вычисляя полученный преобразованный определитель по формуле (6), получим:

Таким образом, вычисление определителя четвертого порядка свелось к вычислению одного определителя третьего порядка, который можно вычислить, например, методом треугольников, а можно опять понизить порядок определителя, используя теорему разложения.

Применим второй способ, предварительно преобразовав определитель третьего порядка. Обратим в нули все элементы третьего столбца определителя, кроме элемента . Для этого сначала умножим все элементы первой строки на 3 и сложим их с соответствующими элементами второй строки, затем все элементы первой строки сложим с соответствующими элементами третьей строки.

.

Раскладывая определитель по элементам третьего столбца, и вынося общие множители, получим:

.

Ответ:16.

Задача 5. Вычислить ранг матрицы .

Решение

1. Определим интервал, в котором находятся значения ранга данной матрицы. Известно, что для ранга матрицы А размера mxn справедливо соотношение:

, (7)

в соответствии с которым ранг исходной матрицы размера 3х4 лежит в интервале: или .

2. Для вычисления ранга матрицы воспользуемся методом элементарных преобразований, в соответствии с которым исходная матрица приводится к трапециевидной (ступенчатой) форме.

Приведем исходную матрицу к трапециевидной форме. Для этого на первом этапе получим нули в первом столбце матрицы, умножая элементы первой строки сначала на (-2), затем на (-5) и складывая их с соответствующими элементами второй и третьей строки:

 .

На втором этапе получим нули во втором столбце матрицы. Сначала для удобства дальнейших преобразований умножим элементы второй и третьей строки на (-1), а затем умножим элементы второй строки на (-2) и прибавим к соответствующим элементам третьей строки:

.

Ранг полученной трапециевидной матрицы равен числу главных диагональных элементов (в данном случае – единиц), отличных от нуля, т.е. rang(A) = 2.

Ответ: 2.

Задача 6. Решить систему с помощью формул Крамера

.

Решение

Формулы Крамера имеют вид:

, (D ≠ 0; j = 1,2,…,n) (8)

где

• - неизвестные, n – число неизвестных;

• D – главный определитель системы, составленный из коэффициентов при неизвестных,

• D_j- вспомогательный определитель, получающийся из главного определителя D заменой j –го столбца на столбец свободных членов.

1. Вычислим определители (например, методом треугольников):

- главный определитель;

вспомогательные определители

, , .

2. Так как главный определитель системы отличен от нуля (D ≠ 0), то система имеет единственное решение, которое может быть найдено по формулам Крамера (8):

,

,

.

Целесообразно сделать проверку полученного решения. Подставим найденные значения неизвестных в исходную систему:

.

При подстановке найденных значений неизвестных в исходную систему каждое уравнение системы обратилось в тождество, следовательно, найденная последовательность чисел является решением системы.

Ответ: .

Задача 7. Решить методом Гаусса систему

а)

.

Решение

1. Определим число неизвестных системы n = 4 и число уравнений m = 4.

Выпишем матрицу коэффициентов системы и матрицу-столбец свободных членов .

Составим расширенную матрицу системы - матрицу коэффициентов, дополненную столбцом свободных членов

= .

2. Приведем расширенную матрицу системы к трапециевидной форме (прямой ход метода Гаусса). Для этого, умножая элементы первой строки на числа (-2),(-3),(-4) и прибавляя их к соответствующим элементам второй, третьей, четвертой строки соответственно, получим нули в первом столбце матрицы. Затем, подбирая соответствующие множители ко второй и третьей строкам, получим нули во втором и третьем столбцах матрицы:

= 

  

3. ¹Определим ранги матриц:

rang = rang = 4 – ранг расширенной матрицы;

rang = = 4 ранг матрицы коэффициентов системы.

rang = rang = r = 4.

Ранг матрицы коэффициентов системы равен рангу расширенной матрицы и равен числу неизвестных системы (r = n =4). В этом случае, согласно теореме Кронекера-Капелли, система имеет единственное решение.

4. Найдем решение системы (обратный ход метода Гаусса):

Запишем укороченную систему, соответствующую полученной трапециевидной матрице:

.

Найдем неизвестные, последовательно исключая переменные

из уравнения (4′) x₄ = 1,

из уравнения (3′) x₃ = 0+x₄ = 0 + 1 = 1,

из уравнения (2′) x₂=10 – 2x₃ – 7x₄ = 10 – 2 – 7 = 1,

из уравнения (1′) x₁ = 11 – 2x₂ – 3x₃ – 4x₄ = 11 – 2 – 3 – 4 = 2.

Ответ: система совместна, определена, имеет единственное решение .

б)

.

Решение

m = 3; n = 3.

1. Приведем расширенную матрицу системы к трапециевидной форме (прямой ход метода Гаусса):

.

В процессе преобразований на первом шаге поменяли местами первый и третий столбцы матрицы; на втором и третьем шагах получили нули в первом и втором столбцах соответственно.

Исходя их вида полученной трапециевидной матрицы, можно сделать вывод о том, что система несовместна (т.е. не имеет решений), так как последняя строка матрицы содержит ненулевой свободный член и соответствует противоречивому уравнению, которое привело к неверному равенству 0 = 1.

Заметим, что в данном случае ранг расширенной матрицы не равен рангу матрицы коэффициентов системы rang ≠ rang и, в соответствии с теоремой Кронекера-Капелли, такая система несовместна.

Ответ: система несовместна.

в)

Решение

m = 3; n = 4.

Заметим, что в данном случае число уравнений меньше числа неизвестных (m < n), и такая система не может быть определена, т.е. не может иметь единственное решение.

1. Приведем расширенную матрицу системы к трапециевидной форме (прямой ход метода Гаусса):

.

2.Ранг полученной трапециевидной матрицы r, равный числу единиц, стоящих на главной диагонали, равен рангу матрицы коэффициентов системы, т. е. в этом случае

rang = rang = r = 2

и система совместна.

Так как r < n (ранг меньше числа неизвестных), система не определена, т.е. имеет бесконечное множество решений.

Так как r = 2, то две переменные х₁ и х₂, входящие в базисный минор, являются базисными, остальные (n – r) переменные – свободные.

Пусть свободные переменные х₃ и х₄ принимают произвольные числовые значения С₁ и С₂ , т.е. положим:

.

3. Обратный ход метода Гаусса. Запишем укороченную систему, соответствующую полученной трапециевидной матрице:

Оставим базисные переменные х₁ и х₂ в левой части уравнений, а свободные переменные х₃ и х₄ перенесем в правую часть:

,

где ; ,

откуда

,

.

Запишем общее решение системы в виде вектор-функции от свободных переменных С₁ и С₂

.

Ответ: .