1.4. Операції над множинами.

Отже, множина називається підмножиною множини ( ), якщо всі елементи множини є також елементами множини ( ). В цьому разі множина є надмножиною множини .

Маючи на увазі ці означення, аксіому об’ємності можна коротко записати так:

.

Приклади 1.4.

1. Множина є власною підмножиною множини .

2. Множина студентів ІНТ є власною підмножиною множини студентів НАУ.

3. Множина натуральних чисел є власною підмножиною множини цілих чисел.

4. Множина раціональних чисел є власною підмножиною дійсних чисел.

Нехай є деякою множиною. Тоді позначення є множиною всіх підмножин множини . У цьому випадку множину називають універсальною (універсум), а множину – множиною-степенем, або булеаном множини .

Приклад 1.5.

Нехай . Тоді булеаном цієї множини буде множина . Число елементів булеана можна розрахувати за формулою . Для наведеного приклада . У комп’ютері для кодуванна цифр, букв і різних символів використовують 8 розрядів двійкового коду, що дає кодових комбінацій.

Об’єднанням множин і називається множина, яка складається з тих і тільки тих елементів, які входять до складу хоча б однієї з цих множин:

.

Приклад 1.6.

1. Якщо , , то .

2. Якщо – множина парних натуральних чисел, а – множина всіх непарних натуральних чисел, то – це множина всіх натуральних чисел.

Перетином множин і називається множина, яка складається з елементів, що входять до складу обох множин: . Якщо , то множини і вважаються такими, що не перетинаються.

Приклад 1.7.

1. Якщо , , то .

2. .

3. .

4. .

5. Якщо – множина прямих, які проходять через точку деякої площини, а – множина прямих, що проходять через точку цієї площини, то , де – пряма, яка проходить через ці дві точки і .

Якщо множина являє собою об’єднання підмножин , то сукупність підмножин називається покриттям множини . Якщо ж сукупність підмножин така, що , то сукупність цих підмножин називається розбиттям множини .

Приклад 1.8.

1. Нехай – множина студентів НАУ, які його

закінчили, а – множини студентів, які закінчили -й факультет. Припустимо, що серед цих студентів є такі, що закінчили декілька факультетів. Отже, є такі студенти, які одночасно є елементами декількох множин, тому сукупність підмножин є покриттям множини , оскільки вона є об’єднанням підмножин.

2. Тепер припустимо, що множина студентів, які в даний момент вчаться на -му факультеті. Тобто в цьому разі кожний студент має бути лише на одному факультеті і, отже, множини не перетинаються, тобто . Таким чином, в цьому разі сукупність підмножин є розбиттям множини .

3. Різницею двох множин і називається підмножина множини , яка складається з елементів множини , що не входять в склад множини : (рис. 1):

Якщо , то підмножина називається доповненням множини в множині . Доповнення позначають символом або .

Виконання операції "різниця" тепер можна реалізувати за допомогою основних операцій перетину множини A з доповненням множини B, тобто С=(А\В)=(А ).

Симетричною різницею множин і називається множина, яка є об'єднанням двох різниць множин .

Оскільки , то цю формулу можна переписати:

.

Диз’юнктивна сума – це множина, яка визначається за властивістю: , вона і є, власне, симетричною різницею.

Слід звернути особливу увагу на те, що і тоді симетричну різницю можна записати формулою . Якщо симетрична різниця двох множин є порожньою , то А=В. Це правило часто використовується при доведенні тотожностей теорії множин.

Приклад 1.9.

Нехай Тоді

Якщо – довільна "універсальна" множина, тобто така, що всі інші множини є підмножинами цієї множини, то різниця називається доповненням множини і позначається через (іноді ). Точніше, Доповненням (запереченням) множини A (до універсальноі множини ) називається множина . Інакше кажучи д оповненням множини А є множина, яка складається із всіх тих елементів, що належать універсальній множині U і не належать множині А, тобто (рис.2):

Приклад 1.10.

Нехай є універсальна множина . З неї можна виділити множини D = {-1 ,6 ,4} , E = {-1,0 ,4 ,6 , 7} , F = . Тоді доповненнями до цих множин будуть

= {-2 ,0 , 1 , 2 ,3 ,5 , 7} , = {-2 , 1 , 2 ,3 ,5} , .

Приклад 1.11.

1. Якщо , , то , то перетини множин

2. Якщо , , то різниця цих множин , а їх перетини

3. .