Множини та операції над ними Лекція 2

1.1. Поняття множини

Поняття множини, як поняття точки, прямої, площини належить до фундаментальних понять математики. Його не можна означити точно. Тому, як правило, наслідуючи Кантора, йому дають описове означення:

О з н а ч е н н я 1.1. "Довільне зібрання певних предметів нашої інтуїції чи інтелекту, які можна відрізнити один від одного і які уявляються як єдине ціле, називається множиною. Предмети, які входять до складу множини, називаються її елементами".

Отже, множину будемо розуміти як деяку сукупність якихось предметів (елементів множини), які можна відрізнити один від одного. Суттєвим також є те, що множину Кантор розглядає як єдине ціле, як один предмет. Таке означення характерне ще і тим, що ніяк не обмежує природу елементів множини. Тому множину можуть складати числа, точки, вектори, люди, планети і т. ін. З канторівського означення випливає, що множина повністю характеризується своїми елементами. Проте це означення Кантора, як з’ясувалось пізніше, має в собі багато суперечностей. Найбільш відома з них розкрита Бертраном Расселом (1902 р.), яка потрясла самі основи теорії множин Кантора. Суть її ї полягає у наступному. Нехай A – сукупність всіх множин, які не є елементами самих себе ( наприклад, множина планет не є планетою, тобто ця множина є елементом A ). Тоді кожне з висловлювань:

”AA ” і ” AA ” є суперечливим (тут знаки – "належить" і – "не належить"). Виправленню цієї неблагополучної ситуації допомогла аксиоматизація теорії множин. У 1908 році математики Цермело і Френкель побудували систему аксіом, яка дозволила надати необхідне обгрунтування теорії множин.

Зауважимо, що система аксіом Цермело – Френкеля є невизначеною, тобто в цій аксіоматиці існують твердження, які не можна ні довести, ні спростувати, наприклад, знаменита континуум – гіпотеза .

1.2. Основні означення Множини позначаються великими літерами латинського алфавіту. Порожню множину позначають символом , це множина, яка не має ні одного елемента.

Порожня множина вважається підмножиною довільної множини. Дійсно, припустимо, що твердження є хибним (тобто припустимо, що ). Тоді це означає що існує хоча б один елемент, який належить множині і в той же час не належить множині . Але ж множина порожня, вона не має елементів, і тому твердження є неможливим. Звернемо увагу на те, що {}, але {}.

О з н а ч е н н я 1.2. Непорожня множина називається підмножиною множини , якщо довільний елемент множини є також і елементом множини .

Отже, той факт, що є підмножиною множини , але відмінна від самої , записують так: . Вираз означає, що і . Цей знак називають знаком включення. Якщо , то множина , якщо вона не порожня, називається власною підмножиною множини , а множина – власною надмножиною множини .

Якщо множина складається із скінченної кількості елементів, то вона позначається фігурними дужками, всередині яких перераховуються ці елементи.

Приклад 1.1.

Множина є власною підмножиною множини

Для множин має місце аксіома об’ємності:

Дві множини рівні тоді і тільки тоді, коли вони складаються з одних і тих же елементів.

Якщо , то це означає, що кожний елемент множини є також елементом множини і навпаки.

A = B – стислий запис аксіоми об’ємності; ця умова є умовою рівності множин.

З а у в а ж е н н я. З точки зору означення множини за Г. Кантором і аксіоми об’ємності множини А = {1;2} i В={1,1,2} рівні . Однак, ми в основному розглядаємо тільки ті множини, які не містять рівних (співпадаючих) елементів. Множини типу В = {1,1,2}, тобто в яких є однакові елементи, називають мультимножинами. Такі множини зустрічаються в інших розділах дискретної математики, наприклад в теорії графів, комбінаториці.

Є множини, позначення яких є загальноприйнятими:

N – множина натуральних чисел;

Z – множина цілих чисел;

Q – множина раціональних чисел;

R – множина дійсних чисел.

Як уже зазначалося, у 1908 році математики Цермело і Френкель побудували систему аксіом, яка дозволила надати необхідне обгрунтування теорії множин.

С и с т е м а а к с і о м Ц е р м е л о – Ф р е н к е л я

1. Аксіома вибору. В кожній непорожній множині можна виділити один певний елемент.

2. Аксіома об’ємності. Дві множини рівні тоді і тільки тоді, коли вони складаються з одних і тих же елементів.

3. Аксіома нескінченності. Існує хоча б одна нескінченна множина, а саме множина натуральних чисел.

4. Аксіома пари. Якщо a i b різні предмети, то існує множина, яка точно складається з цих двох предметів.

5. Аксіома згортки. Будь-яка властивість P(x) визначає певну множину A за умовою: елементами множини A є ті і тільки ті предмети з A, які мають властивість P.