63

1.3. Математическая обработка результатов измерений

1.3.1. Правила суммирования составляющих погрешности

Как уже говорилось и систематические и случайные погрешности могут вызываться различными причинами. Часто путем анализа условий проведения измерений можно выявить эти причины и оценить величину погрешности (систематической или случайной) вызываемой каждой причиной в отдельности. Для представления результата измерения с указанием погрешности возникает задача суммирования составляющих с целью определения общей погрешности результата измерений. При суммировании составляющих погрешности можно выделить три случая:

1. определение суммарной систематической погрешности;

2 определение суммарной случайной составляющей погрешности (в том случае, когда есть несколько независимых причин, вызывающих случайную погрешность, причем каждая составляющая, в общем случае может иметь свой закон распределения);

3. определение общей погрешности результата измерений с учетом суммарной систематической и суммарной случайной составляющих погрешности.

При определении суммарной систематической погрешности для конкретного измерения составляющие могут быть известны и по значению, и по знаку. В этом случае реализация систематической погрешности результата фактически является результирующей поправкой и представляет собой алгебраическую сумму составляющих

(1.34)

Если в результате анализа можно оценить только границы, в пределах которых может находиться каждая составляющая систематической погрешности, а также в том случае, когда для исправления результата по каждой составляющей вводилась поправка и оценивались границы неисключенных остатков составляющих систематической погрешности, то для суммирования неисключенных остатков систематических погрешностей или самих составляющих систематической погрешности , если поправки не вводились, используют вероятностный подход. При этом считают, что каждая составляющая систематической погрешности (или ее неисключенный остаток) распределена в пределах оцененых границ равномерно. Границы суммарной систематической погрешности (или границы суммы неисключенных остатков) определяют, задав желаемый уровень доверительной вероятности по формулам:

,.

для систематических погрешностей, оцененных границами, и , (1.35)

для неисключенных остатков систематических погрешностей.

Коэффициент в общем случае зависит от доверительной вероятности и от числа суммируемых составляющих n. Строгое определение значения коэффициента достаточно сложная задача, поэтому на практике для обработки результатов технических измерений пользуются усредненными значениями коэффициента (не зависящими уже от числа слагаемых n). Усредненные значения коэффициента приведены в таблице 1.1 [5, 6].

Таблица 1.1

	0.9	0.95	0.98	0.99
	0.95	1.1	1.3	1.4

При малом числе составляющих после нахождения по формуле (1.35), необходимо сравнить ее с арифметической границей . Ясно, что не может быть больше . Если , то в качестве границ суммарной систематической погрешности принимается меньшая величина, т.е. .

При использовании вероятностного подхода к суммированию составляющих систематической погрешности, заданных границами ( или ), правомерно ввести понятие среднего квадратического отклонения суммарной систематической погрешности (или суммарного остатка НСП), которое следует определить по формуле (если принимать закон распределения каждой из составляющих систематической погрешности равномерным):

(1.36)

При определении суммарной случайной погрешности результата измерений при условии, что случайная погрешность вызывается несколькими причинами, а случайная погрешность, вызываемая каждой из причин в отдельности известна и характеризуется СКП - , следует пользоваться правилами теории вероятности. Если все составляющие погрешности независимы, то для определения суммарной СКП - пользуются формулой:

(1.37)

В общем случае, при наличии корреляции между составляющими случайной погрешности, пользуются формулой:

, (1.38)

где - коэффициент корреляции между i-ой и j-ой составляющими случайной погрешности .

Если какие либо составляющие случайной погрешности “сильно” коррелированы, т.е. коэффициент корреляции =+1 или =−1, то суммирование таких составдяющих ведется алгебраически. Так если некоторые составляющие случайной погрешности оценены СКП и , а коэффициент корреляции =+1, то суммарная СКП этих составляющих - = + , а если =−1, то = ‌ − ‌ .После отдельного суммирования “сильно” коррелированных составляющих случайной погрешности, полученные результаты и оставшиеся составляющие считаются независимыми и суммируются в соответствии с (1.37).

Формулы (1.37) и (1.38) справедливы для СКП - , выраженных как в абсолютной, так и в относительной формах. Доверительный интервал случайной погрешности результата измерений и в этом случае определяется по формуле, аналогичной (1.22).

Часто бывает достаточно указать отдельно суммарную систематическую погрешность (ее границы) и суммарную случайную погрешность в виде доверительного интервала . Необходимо, чтобы эти величины были вычислены при одинаковой доверительной вероятности . Результат измерения в этом случае в соответствии с требованиями ГОСТ 8.207-76 представляется в следующем виде:

. (1.39)

Если границы суммарной систематической погрешности (или границы суммы НСП) или границы доверительного интервала случайной погрешности не одинаковы (несимметричны), то они указываются по отдельности в виде и , или и .

Раздельная запись составляющих погрешности результата измерения целесообразна в тех случаях, когда полученный результат в дальнейшем подвергается анализу и сопоставлению с другими результатами аналогичного измерительного эксперимента или используется как промежуточный при нахождении других величин. Раздельно границы НСП и границы доверительного интервала случайной погрешности указываются также для эталонов, в соответствии с ГОСТ 8.381-80, и некоторых высокоточных СИ.

Иногда условия измерительной задачи требуют представить результат измерений с указанием границ общей суммарной погрешности. Строгое решение этой задачи требует большого объема вычислений, что оправдано только при метрологических измерениях. В практике технических измерений границы общей погрешности определяют, руководствуясь рекомендациями ГОСТ 8.207-76, которые заключается в следующем [10].

Если отношение ,

где определено по формуле (1.35), а - по формулам (1.37) или (1.38), то неисключенными систематическими погрешностями пренебрегают и в качестве границ общей погрешности принимают границы доверительного интервала случайной погрешности:

.

Если , то пренебрегают случайной погрешностью и в качестве границ общей погрешности принимают границы суммарной систематической погрешности:

Доказано, что при выполнении указанных неравенств, погрешность определения границ общей погрешности, возникающая за счет пренебрежения одной из составляющих, не превышают 12%.

Если же границы общей погрешности следует находить,

пользуясь эмпирическими формулами:

, (1.40)

где - коэффициент, зависящий от соотношения случайной и неисключенной систематической погрешностей;

- оценка суммарного среднего квадратического отклонения результата.

Вычисления по формуле (1.40) дают погрешность также не более 12%, но достаточно громоздки. Поэтому для обработки результатов технических измерений при определении общей погрешности можно пользоваться упрощенной формулой:

,

где - коэффициент, зависящий от доверительной вероятности и величины коэффициента , определяемый при из таблицы 1.2 [2].

Таблица 1.2

.

К	0,8	1	2	3	4	5	6	7	8
КР=0,95	0,76	0,74	0,71	0,73	0,76	0,78	0,79	0,80	0,81

Окончательный результат измерения в этом случае представляется в виде:

, или (1.41)