7. Складне судження.

Судження, яке утворюється із простих за допомогою відповідних логічних сполучників, називається складним. Порівнюючи складні судження з простими, можна виділити ряд таких відмінностей:

1. Якщо просте судження містить одне ствердження або заперечення, то складне - два і більше,

2. Якщо у простому судженні лише один суб'єкт та один предикат, то в складному – їх декілька;

3. Якщо просте судження розкладається лише на поняття, то склад­не, щонайменше, на два судження, кожне з яких оцінюється як істинне чи хибне.

Для прикладу проаналізуємо таке судження:"У світі налічується понад 5,5 тисяч мов, але більшість із та не мають своєї писемності".

Очевидно, що це судження є поєднанням двох самостійних суд­жень, кожне з яких може бути розглянуто окремо.

1) "У світі налічується понад 5,5 тисяч мов";

2) "Більшість із існуючих у світі мов не мають своєї писемності".

Логічну форму простих суджень вивчає розділ логіки, який нази­вається логікою предикатів. Логіка предикатів враховує внутрішню структуру простих суджень. Складні судження вивчає розділ, що нази­вається логікою висловлювань. На відміну від логіки предикатів, у логіці висловлювань абстрагуються від внутрішньої структури простих суд­жень, розглядаючи їх як елементарні (неподільні) одиниці мислення. По­няття, що входять до складу вихідних суджень, не беруться до уваги. Тому, якщо в процесі формалізації простих суджень ми користувались логічними змінними "S" і "Р", то при формалізації складних суджень будемо використовувати логічні змінні - а, b, с, d і т. д. , кожна з яких являє собою просте судження як неподільне ціле. Вивчення складних суджень передбачає дослідження двох питань - як із простих суджень утворюються складні та як залежать логічні значення складних суджень від логічних значень простих суджень.

Прості судження поєднуються у складні за допомогою логічних сполучників - кон'юнкції, диз'юнкції, імплікації, еквіваленції, заперечен­ня. Кожному із них відповідає певний знак штучної мови:

- - знак заперечення ("не", "невірно, що...");

^ - знак кон'юнкції (логічне "і");

v - знак слабкої диз'юнкції (логічне "або");

v - знак сильної диз'юнкції (логічне "або... або", "чи ...чи");

→ - знак імплікації (логічне "якщо ..., то ");

↔ - знак еквіваленції (логічне "тоді і тільки тоді, коли...").

Для того, щоб встановити значення істинності простого судження достатньо співвіднести його зміст із наявним станом речей. Встанов­лення істинності складного судження вимагає не тільки звернення до фактів, але й розгляду смислу логічного зв'язку, за допомогою якого воно утворене. Тому перейдемо до вивчення логічних сполучників.

Заперечення судження здійснюється за допомогою виразу "невірно, що...", який ставиться перед судженням, або шляхом зміни логічної зв'язки на протилежну. При цьому істинне судження перетво­рюється на хибне і навпаки. Наприклад: "Ян Коменський був єпископом моравської церкви" - "Невірно, що Ян Коменський був єпископом моравської церкви".

Якщо вихідне судження позначити змінною "а", то заперечивши його, отримаємо "-а" (читається "невірно, що а", або "не а").

Хоча заперечення і не поєднує два судження в одне, воно тлумачиться логіками як сполучник, оскільки завдяки йому утворюється нове судження.

Складне судження, в якому прості поєднуються між собою за до­помогою сполучника "і", називається "кон'юнктивним" (єднальним). На­приклад: "Цвітуть волошки в золотому житі і над смарагдом луки сяє мак" (В.Стус).

Це судження складається із двох простих:

1. "Цвітуть волошки в золотому житі" – а.

2. "Над смарагдом луки сяє мак" – b.

Позначивши перше із них змінною "а", друге - "b", логічний спо­лучник "^" , отримаємо формулу цього судження: "а^b". Вона чи­тається так: "а і b".

Логічний сполучник "і" поєднує самостійні та незалежні між со­бою судження, які можуть відображати одночасність деяких подій, ре­зультати якої-небудь дії або просто констатувати факти навколишньої дійсності.

Оскільки кожне із вихідних суджень може бути або істинним, або хибним, то виникає запитання, яким буде логічне значення їх кон'юнкції. Щоб з'ясувати це, розглянемо таку таблицю (див. Табл. 2):

У таблиці перші дві вертикальні колонки виражають значення істинності простих суджень - а і b (істина позначається символом "і" хибність - "х"). При цьому перші дві колонки охоплюють всі можливі поєднання їх істинності та хибності, а саме: 1) вони можуть бути обидва

істинними; 2) перше - істинне, а друге - хибне; 3) перше - хибне, друге - істинне; 4) обидва - хибні. Третя вертикальна колонка показує як залежить значення істинності кон'юнкції від логічних значень складових елементів.

Ця таблиця називається "таблицею істинності кон'юнкції". Аналогічно будуються і таблиці істинності для інших логічних сполучників.

З наведеної таблиці видно, що кон'юнктивні судження є істинними, якщо кожне із вихідних суджень, з яких вони складаються, будуть істинними. Якщо ж хоча б одне із цих суджень є хибним, то складне кон'юнктивне також буде хибним. Значення кон’юнкції не залежить ні від кількості елементів, ні від їх порядку.

Показником кон’юнкції в мові не обов’язково є граматичне "і". Кон'юнкцію можуть виражати сполучники "а", "та", "хоча", "однак", "зате", "не тільки.., але й …" та ін.; деінколи граматичний сполучник може бути опущеним взагалі. Іноді кон'юнктивні судження виражаються в скороченій формі.

Наприклад: "Без відкриттів і знахідок немає педагогічної творчості" (В.Сухомлинський).

Судження, яке утворюється із простих за допомогою логічного сполучника "або", називається диз'юнктивним (розділовим). Оскільки сполучник "або" використовується у двох значеннях - єднально-розділовому та суто розділовому, розрізняють два види диз'юнкції - слабку (нестрогу) та сильну (строгу). Сполучник "або" виступає в зна­ченні слабкої диз'юнкції у тих судженнях, в яких істинність одного вихідного судження допускає водночас і істинність іншого. Наприклад: "Цей учень є надзвичайно здібним або надзвичайно старанним". Це судження скла­дається з двох простих:

1. "Цей учень є надзвичайно здібним" – a.

2. "Цей учень є надзвичайно старанним" – b.

Якщо перше із них позначити змінною "а", друге - "b", логічний сполучник знаком "v", то отримаємо формулу наведеного судження - "a v b" (читається "а або b"). Таке складне судження може бути оцінене як істинне тоді, якщо, принаймні, одне з простих суджень, що входять до його складу, є істинним, тобто:

"Цей учень є надзвичайно здібним, але не є дуже старанним".

"Цей учень є надзвичайно старанним, але не є дуже здібним".

"Цей учень є надзвичайно здібним, і дуже старанним".

Відобразимо це в таблиці істинності слабкої диз'юнкції (див. Табл. 3):

Отже, слабка (нестрога) диз'юнкція - це логічний сполучник, при якому складне судження є істинним, якщо хоча б одне з його вихідних суджень є істинним. Слабка диз'юнкція є хибною лише тоді, якщо хибними є усі її складові елементи.

Сильна (строга) диз'юнкція, на відміну від слабкої, вимагає од­нозначності - істинним повинно бути лише одне із вихідних суджень. Наприклад: "Гомер народився в Смирні або Колофоні".

Виділимо у цьому судженні прості судження:

"Гомер народився в Смирні"- а.

"Гомер народився в Колофоні" – b.

Поєднавши змінні а і в знаком сильної диз'юнкції, отримаємо фор­мулу даного складного судження - "а v b" (читається "або а або b"). Во­но може бути оцінене як істинне лише у двох випадках:

"Гомер народився в Смирні, але не народився в Колофоні".

"Гомер народився в Колофоні, але не народився в Смирні".

В інших випадках сильна диз'юнкція буде хибною, бо істинність обох вихідних суджень суперечить дійсності (одна і та ж людина не може народитись в двох містах), а їх хибність (в нашому випадку це означає, що Гомер не народився ні в Смирні, ні в Колофоні) вказує на хибність складного судження Відобразимо це у таблиці істинності сильної диз'юнкції (див. Табл. 4):

Таким чином, сильна (строга) диз'юнкція - це логічний сполучник, при якому складне судження є істинним тільки тоді, коли істинним є лише один його складовий елемент.

Диз'юнктивні судження можуть складатися не тільки з двох суд­жень, але й з більшого їх числа. Значення складного диз'юнктивного суд­ження не залежить від порядку його членів (а v b або b v а). Диз'юнкція може виражатися в скороченому вигляді. В такому випадку у вихідних суджень однаковим є суб'єкт або однаковим предикат. У мові для підкреслення сильної диз'юнкції вживають іноді сполучник "чи...чи". Крім сполучників "або" та "чи" диз'юнкцію можуть виражати грама­тичні сполучники "і", "хіба... хіба", "якщо не...".

Судження, яке утворюється із простих за допомогою логічного сполучника "якщо...то" називається імплікативним. Характерною особливістю логічного сполучника "якщо...то" є те, що він поєднує за­лежні між собою судження, одне з яких є підставою, а інше - наслідком. Імплікація завжди бінарна, тобто поєднує лише два елементи (хоча ко­жен із них може бути поданий у вигляді складного судження). При цьому логічна підстава завжди передує наслідку. За допомогою імплікації встановлюються різноманітні залежності і зв’язки між явищами. Особ­ливо важливу роль цей сполучник відіграє в умовиводі.

Для прикладу проаналізуємо таке судження: "Право на повагу має той, хто поважає інших". Хоча у цьому судженні і не використано граматичного сполучника "якщо...то", воно тотожне судженню: "Якщо лю­дина поважає інших, то вона має право на повагу". Дане судження складається з двох простих:

"Людина поважає інших" - а (підстава).

"Вона має право на повагу" - b (наслідок).

Формула цього судження записується так : а → b ("якщо а, то b"). Розглянемо випадки, в яких дане судження може бути оцінене як істинне:

- якщо і перше, і друге судження є істинними, то імплікація є істинною. "Людина поважає інших, тому вона має право на повагу";

- підстава істинна, а наслідок хибний - "Людина поважає інших, але не має права на повагу". У цьому випадку імплікація є хибною, бо такий зв’язок не відповідає дійсності;

- підстава хибна, а наслідок істинний - "Людина не поважає інших, але вона має право на повагу". В такому випадку імплікація оцінюється як істинна, так як право на повагу людина може мати не тільки з цієї причини;

- і підстава, і наслідок є хибними - "Людина не поважає інших і не має права на повагу". У цьому випадку імплікація теж є істинною, бо якщо підстава не відповідає дійсності, то й наслідок також є хибним.

Відобразимо ці значення в таблиці істинності імплікації (див. Табл. 5):

Отже, імплікація - це логічний сполучник, при якому складне суд­ження є хибним лише тоді, коли його підстава істинна, а наслідок хиб­ний. В усіх інших випадках імплікація є істинною.

У мові імплікація може виражатися також сполучниками "якби...то ", "за умови, що", "для того, щоб", "тоді..., коли", а іноді грама­тично не виражатись взагалі (як це було у раніше наведеному прикладі).

Судження, які відображають залежність чогось одного від іншого називають умовними В процесі вивчення умовних суджень важливе значення має розмежування понять "необхідна умова" і "достатня умо­ва". Необхідною є та умова, без якої подія не може відбутись, тобто на­явність події вимагає наявності умови. Наприклад: "Щоб отримати ви­щу освіту необхідно складати семестрові іспити". Необхідність умо­ви можна виразити за допомогою формул: b → а або а → b.

Умова вважається достатньою, якщо при її наявності подія може відбуватись і в деяких випадках відбувається. Так, наприклад, для ви­никнення уявного образу предмета достатньо відтворити момент йо сприйняття. Достатня умова виражається формулами а → b, b → а.

Як не кожна необхідна умова може бути достатньою, так і не кожна достатня - необхідною. Проте, деякі з них можуть бути необхідними і достатніми. Цю залежність відображає логічні сполучник "еквіваленція".

Судження, яке утворюється із простих за допомогою логічного сполучника "тоді і тільки тоді, коли..." називається еквівалентним. Наприклад: "Якщо сума цифр даного числа ділиться на три, то це число ділиться на три".

Розкладемо ці судження на прості і запишемо його формулу:

"Сума цифр даного числа ділиться на три" – а.

"Це число ділиться на три" – b.

Формула цього судження "а ↔ b" ("а тоді і тільки тоді, коли

b").

Визначимо, в яких випадках це судження буде істинним:

- обидва вихідні судження є істинними, тобто, дійсно, сума цифр даного числа ділиться на три і, дійсно, це число ділиться на три. Еквіваленція є істинною;

- перше судження істинне, друге - хибне, тобто, сума цифр даного числа ділиться на три, але це число не ділиться на три. У цьому випадку еквіваленція є хибною, оскільки це суперечить дійсності;

- перше судження хибне, друге - істинне, тобто, сума цифр даного числа не ділиться на три, але воно ділиться на три. Це теж суперечить дійсності, тому таке еквівалентне судження є хибним;

- обидва вихідні судження хибні, тобто, сума цифр даного числа не ділиться на три і це число не ділиться на три. В такому випадку еквіваленція є істинною, так як хибність одного із суджень вказує на хибність іншого.

Відобразимо ці значення в таблиці істинності еквіваленції (див. Табл. 6):

Еквіваленція — це логічний сполучник, який надає судженню істинності при однакових значеннях вихідних суджень.

В наведеному прикладі для вираження еквіваленції було викори­стано граматичний сполучник “якщо...то”. Щоб відрізнити, в якому випадку має місце імплікація, а в якому еквіваленція, треба переставити місцями підставу і наслідок судження. Така перестановка змінює істинну імплікацію на хибну, а значення істинності еквіваленції зали­шається незмінним.

Наведемо зведену таблицю істинності логічних сполучників (див. Табл. 7):

За допомогою таблиць істинності можна перевірити правильність того чи іншого міркування, поданого у вигляді формули, яка містить тільки логічні сталі та логічні змінні. Такі формули можуть виражати логічний закон, логічну суперечність або бути виконуваною формулою.

Логічний закон - це формула, яка набирає значення істинності при будь - яких значеннях її змінних.

Логічна суперечність - це формула, яка набирає значення хибності при будь-яких значеннях її змінних.

Виконувана формула - це формула, яка може змінювати своє логічне значення, тобто бути істинною або хибною залежно від того, які логічні значення набувають її складові.

Для прикладу перевіримо, чи є формула (а → -b) ^ а) → -b в ло­гічним законом. Для цього складемо таблицю істинності для неї. Алгоритм її побудови такий:

1. У складі формули треба виділити всі підформули. Підформулою є формула, що входить до складу іншої формули. Підформулами цієї формули є:

а,b,-b,a → b, (а → -b) ^ а, ((а → -b) ^ а) → -b.

Кожна підформула повинна розпочинати новий стовпчик таблиці,

2. Вписати в рядки всі можливі набори логічних значень змінних. Змінних у формулі є дві, тому можливих значень буде чотири:

"і, і", "і, х", "х, і" та "х, х".

3. Обчислити значення кожної підформули при кожному набор значень змінних.

(див. Табл. 8)

Як бачимо, формула набирає значення істинності при будь-яких значеннях її змінних, отже, вона є логічним законом.