2. Эллипс, его каноническое уравнение, исследование формы по уравнению Вывод уравнения эллипса
Определение 10.2. Эллипсом называется множество точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний от них до двух фиксированных точек F1 и F2, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.
С
оставим
уравнение эллипса. Выберем систему
координат так, чтобы ось Ох проходила
через фокусы, а ось Оу - посередине между
ними (рис. 10.6). Обозначим через 2а сумму
расстояний от любой точки М(х, у) эллипса
до фокусов.
Расстояния r1 и r2 от точки M(x, y) до фокусов F1 и F2:
r1 = MF1, r2 = MF2,
называются фокальными радиусами точки М(x, y).
В выбранной системе координат фокусы имеют координаты:
F1(с, 0); F2 (-с, 0).
Расстояния от точки M(x, y) до фокусов:
,
.
По определению эллипса сумма этих расстояний равна 2a:
.
Для последующего упрощения этого уравнения запишем его в виде
и возведём в квадрат обе части полученного уравнения:
.
После очевидных тождественных преобразований получим
.
Возведём левую и правую части этого уравнения в квадрат:
+
=
.
(10.1)
Так
как
,
введем обозначение
.
Уравнение
(10.1) при этом примет вид
После его почленного деления на a2b2 0 получим
.
(10.2)
Равенство (10.2) является уравнением эллипса и называется каноническим уравнением эллипса.
Исследование формы эллипса по его каноническому уравнению
В каноническое уравнение (10.2) эллипса координаты x и y входят в чётной степени. Поэтому, если точка M (x, y) лежит на эллипсе, то вместе с нею лежат на том же эллипсе и точки MI (x, - y), MII (-x, y), симметричные относительно осей Oх и Oу, и точка MIII (-x, -y), симметричная точке M относительно начала координат.
Таким образом, эллипс, определяемый уравнением (10.2), симметричен как относительно оси Oх, так и относительно оси Oу. Значит, оси координат эллипса служат осями симметрии, а начало координат – центром симметрии.
Найдём точки пересечения эллипса с осями симметрии. Эти точки называются вершинами эллипса.
При y = 0 из уравнения найдём x = a.
При x = 0 найдём y = b. Значит, вершинами эллипса будут точки:
A1(a, 0), A2( - a, 0), B1(0, b), B2 (0, - b).
Отрезок [A1A2] оси симметрии (длина этого отрезка равна 2a), соединяющей вершины A1 и A2 эллипса, расположенные на оси, содержащей фокусы, называется большой осью эллипса, а отрезок [B1B2] длиной 2b – малой осью эллипса. Длины a и b называют соответственно большой и малой полуосями эллипса.
Для исследования формы эллипса выразим из его уравнения y в зависимости от x:
.
Используя симметрию эллипса, ограничимся рассмотрением той его части, которая расположена в первой координатной четверти, где х 0, y 0, т.е. рассмотрим график функции
,
0
x
a.
Очевидно, что при возрастании x от 0 до a величина y убывает от b до 0.
Учитывая симметричность эллипса относительно координатных осей, мы приходим к выводу о том, что эллипс - есть замкнутая линия, имеющая форму овала, центр симметрии и две оси симметрии (рис. 10.6).
Условимся
уравнение
называть уравнением эллипса и в том
случае, когда a
b и a = b.
В первом случае эллипс вытянут вдоль
оси Oу, его фокусы будут расположены на
оси Оу. Во втором случае уравнение
принимает вид x2
+ y2 =
a2 и
служит уравнением окружности радиуса
a. При таком соглашении окружность
выступает как частный случай эллипса,
соответствующий равенству его малой и
большой полуосей: a = b.
Эксцентриситетом
эллипса называется
отношение расстояния между фокусами
этого эллипса 2с к длине его большой оси
2а, т.е.
.
Так как 0 с a, то 1, т.е. эксцентриситет каждого эллипса меньше единицы.
Из равенства а2 – с2 = b2 следует, что c2 = a2 – b2. Поэтому
2
=
,
отсюда
=
и
.
Следовательно, эксцентриситет определяется отношением полуосей эллипса и, обратно, отношение полуосей эллипса определяется его эксцентриситетом.
Если
= 0, то
,
b = a, эллипс
вырождается в окружность. Наоборот, чем
ближе
к 1, тем ближе отношение
к нулю, тем более вытянут эллипс вдоль
оси Oх. Следовательно,
эксцентриситет эллипса характеризует
степень его вытянутости: чем ближе
эксцентриситет к единице, тем более
вытянут эллипс.
Пример 10.2. Составить каноническое уравнение эллипса, зная, что его фокусы лежат на оси Oх симметрично относительно начала координат, расстояние между фокусами 2c = 6 и эксцентриситет = 3/5.
Решение. Чтобы составить каноническое уравнение эллипса, надо знать его полуоси a и b.
По
условию с = 3. Из определения эксцентриситета
Найдём полуось а: a =
.
Из
равенства a2
– c2
= b2
находим полуось b:
.
Тогда
получаем каноническое уравнение эллипса:
.
Отложив на осях Ох и Оу вершины 5 и 4 соответственно, строим эллипс (рис. 10.7).
Вопросы на понимание основных понятий:
1. Что называется эллипсом?
2. Какое уравнение называется каноническим уравнением эллипса?
3. Что называется эксцентриситетом эллипса?
4. Какие точки называются вершинами эллипса?