2. Середня арифметична проста і зважена.

Одним із найбільш поширених видів середньої є середня арифметична. Вона застосовується в тих випадках, коли обсяг варіюючої ознаки для всієї сукупності формується як сума значень ознаки у окремих одиниць сукупнос­ті, що вивчається. Щоб розрахувати середню арифметичну, потрібно скласти всі окремі варіанти (індивідуальні значення ознаки) і суму поділити на їх

кількість.

Позначивши варіанти через X₁, X₂ і т.д., розрахунок середньої ари­фметичної можна податитакою формулою:

Середня арифметична буває двох видів: а) проста; б) зважена. Наведена вище середня є середньою арифметичною простою і визначається вона ви­конанням двох простих операцій - складанням значень варіантів і діленням одержаної суми на їх кількість.

Проте наведений вище розрахунок середньої можна дещо спростити: перед сумуванням помножити варіанти на частоти, тобто на число, що пока­зує скільки раз цей варіант зустрічається у відповідному ряді. Таке множення варіантів на їх частоти у статистиці називається зважуванням, а розрахована на цій основі середня - середньою арифметичною зваженою.

Якщо частоти (ваги) позначити через f, то формула середньої арифме­тичної зваженої матиме такий вигляд:

В нашому прикладі за цією формулою обчислювати середню значно легше, ніж за формулою простої. Таким чином, для визначення середньої арифметичної зваженої виконують такі операції: множення кожного варіанту на його частоту, сумування одержаних добутків і, врешті, ділення одержаної суми на суму частот.

Переважно середню арифметичну визначають за формулою середньої зваженої. Просту середню використовують тільки в тих випадках, коли у кожного варіанту частота дорівнює одиниці, тобто варіант зустрічається один раз. Якщо частоти у всіх варіантів рівні, то при визначенні середньої арифметичної можна теж відмовитись від зважування. Часто вирахування середніх величин здійснюється за даними не тільки дискретних, але й інтервальних рядів розподілу, коли варіанти ознаки пода­ються у вигляді інтервалу (від – до).

Для обчислення середньої спочатку потрібно перетворити інтервальний ряд в дискретний, для чого по кожній групі визначають середнє значення інтервалу. Середнє значення інтервалу знаходять як півсуму йо­го верхньої і нижньої границі. Якщо є відкритий інтервал, то для визначення його середнього значення виходять з величини інтервалу наступної групи або попередньої, тобто в сусідніх групах.

Після того, як знайдено середнє значення інтервалів, подальші розра­хунки здійснюють так само, як і в дискретному варіаційному ряді: варіан­ти перемножуються на частоти і суму добутків ділять на суму частот.

У наведеному прикладі середній рівень виробітку по підприємству складає:

3. Математичні властивості середньої арифметичної і техніка її обчислення.

Середня арифметична має ряд математичних властивостей, важливих для спрощеного її обчислення. Найбільш важливі з них такі:

1. Добуток середньої на суму частот завжди дорівнює сумі добутку варіантів на частоти. Тобто:

Доведення:

Я кщо ліву і праву сторони поділити на постійну величину, яка дорівнює сумі Х, то одержимо

2. Я кщо від кожного варіанта відняти яке-небудь довільне число, то одержана середня зменшиться на те ж число. Тобто:

звідси X = Х_А + А, де - середня розрахована із варіантів, зменшених на ве­личину А.

Таким чином, для того, щоб визначити середню величину, слід до одержаної зменшеної середньої додати число (А), на яке зменшували ко­жний варіант.

3 . Якщо до кожного варіанта додати будь-яке число, то середня збільшиться на це ж число. Тобто:

звідси X = Х_А - А. Таким чином, для того, щоб визначити середню вели­чину, слід від одержаної збільшеної середньої відняти число (А), на яке збільшували кожний варіант.

4. Якщо кожний варіант поділити на будь-яке число (і), то середня арифметична зменшиться у стільки ж разів.

Таким чином, щоб визначити середню величину, слід одержану зме­ншену в і - разів середню величину збільшити в і - разів.

5. Якщо кожний варіант помножити на будь-яке число (і), то середня арифметична збільшиться у стільки ж разів. Тобто:

Таким чином, щоб визначити середню величину, слід одержану збільшену в і - разів середню величину зменшити в і - разів.

6. Якщо всі частоти поділити чи помножити на будь-яке число, то се­редня арифметична від цього не зміниться.

Ця властивість базується на тому, що частоти при розрахунку серед­ньої арифметичної мають значення ваги не як абсолютні величини, а як питомі ваги, що мають окремі варіанти у всьому варіаційному ряді. Збільшуючи чи зменшуючи в однаковій мірі частоти всіх варіантів, тим самим не міняють питомої ваги кожного окремого варіанта в ряді.

7 . Сума відхилень варіантів від значення їх середньої завжди дорів­нює нулю:

Це значить, що в середній арифметичній взаємно погашаються відхи­лення варіантів в одну і іншу сторони.

Викладені вище властивості середньої арифметичної дозволяють в багатьох випадках значно спростити її обчислення. Виходячи з другої та четвертої властивостей можна: по-перше, відняти від всіх варіантів постійне число, найкраще взяти варіант з найбільшою частотою; по-друге, поділити всі варіанти на постійне число, як правило, за таке беруть вели­чину інтервалу; по-третє, інколи доцільно частоти виражати в процентах.

О бчислення середньої арифметичної вказаним способом дістав у ста­тистиці назву способу відліку від умовного нуля або «спосіб моментів». Він використовується в рядах з рівними інтервалами і формула для його обчислення має такий вигляд:

д е m₁ - момент першого порядку, який визначається за формулою:

Потреба у використанні спрощених способів обчислення середньої сьогодні досить незначна, оскільки все більшого поширення набуває використання електронних машин. Це дозволяє виконувати розрахунки на основі індивідуальних даних незалежно від їх кількості.