3.2. Плоскость в пространстве

Все уравнения плоскостей в пространстве с небольшими изменениями повторяют уравнения прямой на плоскости, доказательства этих уравнений также аналогичны. Мы предлагаем читателю сравнить пункты этой лекции с соответствующими пунктами предыдущей.

1. Пусть плоскость в пространстве пересекает ось в точке с координатой , а угловые коэффициенты ее пересечения с плоскостями и равны соответственно и (см. рис.2.9).

Тогда уравнение этой плоскости имеет вид

.

Это уравнение называется уравнением плоскости с угловыми коэффициентами.

С помощью такого уравнения можно описать любую плоскость , не параллельную . Выводить это уравнение мы не будем.

2. Определение. Любые два неколлинеарных вектора и на плоскости называются ее направляющими векторами.

Эти векторы являются базисными векторами плоскости. Координаты векторов и обозначим переменными и соответственно.

Z

₂

₁

O Y

X

Рис.3.9.

Пусть - некоторая фиксированная точка на плоскости , - произвольная точка этой плоскости (см. рис.3.10).

Z

M₀ M

P

O Y

Рис.3.10.

X

Обозначим координаты вектора в базисе через , т.е.

.

Тогда из соотношения получим уравнение:

,

которое называется векторным уравнением плоскости . Здесь .

3. Записав координаты обеих частей векторного уравнения, получим:

Эти уравнения называются параметрическими уравнениями плоскости.

4. Поскольку векторы , , - компланарны, то их смешанное произведение равно нулю:

,

следовательно, в координатной записи:

Это уравнение называется уравнением плоскости с направляющими векторами.

Пример 1. Найдем уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно векторам и . Подставив координаты точки и векторов в определитель уравнения, получим:

.

Разложив определитель по первой строке, получим искомое уравнение:

.

5. Пусть плоскость проходит через три точки , и , не лежащие на одной прямой. Тогда векторы и являются направляющими для плоскости , подставив их координаты в уравнение с направляющими векторами, получим:

.

Это уравнение называется уравнением плоскости, проходящей через три заданные точки.

Пример 2. Найдем уравнение плоскости, проходящей через точки , и . Подставив координаты точек в уравнение, получим:

Несложно проверить, что плоскость, описываемая этим уравнением, проходит через точки . Для этого достаточно подставить координаты точек в уравнение:

6. Разложив определитель в уравнении плоскости с направляющими векторами по первой строке, получим

Здесь

алгебраические дополнения элементов первой строки. Обозначив через , через , через , а через , получим:

.

Это уравнение называется общим уравнением плоскости.

Следующая теорема обосновывает это название.

Теорема. Любая плоскость в пространстве определяется своим общим уравнением, и любое уравнение вида , где , задает некоторую плоскость в пространстве.

Доказательство первой части теоремы приведено выше, вторая часть теоремы дается без доказательства.

Заметим, что различные общие уравнения могут определять одну и ту же плоскость.

Определение. Вектор , перпендикулярный плоскости , называется нормальным вектором этой плоскости.

Теорема о нормальном векторе плоскости. Вектор с координатами является нормальным для плоскости с уравнением

в пространстве .

Докажите самостоятельно эту теорему, повторив с необходимыми изменениями доказательство для случая прямой.

Пример 3. Нормальным вектором для плоскости является вектор .

Следствие 1. Косинус угла между плоскостями

и

с нормальными векторами и находится по формуле:

.

Следствие 2. Эти плоскости перпендикулярны только в том случае, когда

.

Следствие 3. Эти плоскости параллельны только в том случае, когда

.

Если же

,

то плоскости и совпадают.

(Эти равенства здесь понимаются в смысле пропорций).

Пример 4. Найдем косинус угла между прямыми и . Здесь , .

.

Коэффициенты нормального вектора плоскости и коэффициент позволяет оценить расположение плоскости относительно координатных осей и плоскостей следующим образом. (Во всех уравнениях отличны от нуля).

а) Если , т.е. если уравнение плоскости имеет вид:

то || . Это следует из того, что . Плоскость вида проходит через , т.к. координаты любой точки вида удовлетворяют этому уравнению.

в) Плоскость с уравнением параллельна , а плоскость проходит через .

с) Плоскость с уравнением параллельна , а плоскость проходит через .

d) Плоскость с уравнением параллельна плоскости , т.к. ее нормальный вектор .

е) Плоскость с уравнением параллельна .

f) Плоскость с уравнением параллельна .

g) Плоскость с уравнением проходит через начало координат точку .

7. Пусть плоскость проходит через точку перпендикулярно вектору . Возьмем на плоскости произвольную точку M(x,y,z) и составим вектор = . При любом расположении точки М на плоскости вектора и взаимно перпендикулярны, поэтому их скалярное произведение равно нулю.

=0

Тогда

.

Это уравнение называется уравнением плоскости с нормальным вектором.

Пример 4. Дана плоскость и точка . Найдем уравнение плоскости || и проходящей через точку .

Поскольку || , то вектор является нормальным для обеих плоскостей. Подставляя его координаты и координаты в уравнение, получим

.

8. Пусть плоскость не проходит через начало координат и пересекает оси в точках с координатами и соответственно. Тогда уравнение этой плоскости имеет вид:

.

Это уравнение называется уравнением плоскости в отрезках

(см. рис.3.11).

Z

0

Y

X

Рис.3.11

Пример 5. Приведем уравнение плоскости к виду уравнения в отрезках:

Следовательно, эта плоскость пересекает координатные оси в точках .

9. Пусть плоскость не проходит через начало координат, и расстояние от точки до равно , и пусть – единичный нормальный вектор, проведенный из точки в направлении плоскости, – его направляющие косинусы.

Тогда уравнение этой плоскости имеет вид

.

Это уравнение называется нормальным уравнением плоскости. Вывод уравнения с небольшими изменениями повторяет вывод нормального уравнения прямой.

Чтобы из общего уравнения плоскости получить ее нормальное уравнение, необходимо умножить его на число

,

где знак берется противоположным знаком .

Пример 6. Нормальное уравнение плоскости имеет вид

.

Здесь

.

Теорема. Расстояние от точки до плоскости определяется формулой:

.

Пример 7. Напишем уравнения плоскостей и , параллельных плоскости и находящихся на расстоянии от нее. Учитывая следствие, уравнения плоскостей получим из соотношения:

Следовательно,

Определение. Величина называется отклонением точки от плоскости .

Плоскость разбивает все пространство на два полупространства, в одном из которых положительно и совпадает с , а в другом и . Эти полупространства определяются соответственно неравенствами:

и .

Несложно проверить, что нормальный вектор , проведенный из любой точки плоскости , указывает на полупространство .