Тема лекции: Аналитическая геометрия (3 часа) Аналитическая геометрия.
3.1 Прямая на плоскости
В
этом параграфе мы рассмотрим различные
виды уравнений прямых на плоскости
и
задачи, которые решаются с помощью этих
уравнений.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
у
М(х,у)
у-в
х
х
О
Рис.3.1
Прямая на оси Оу пересекает точку и с положительным направлением оси Ох составляет угол
;
;
введем
обозначение
тогда
где
- называется угловым коэффициентом.
Пример
1. Уравнение
перепишем в виде
.
Следовательно,
это уравнение определяет прямую с
угловым коэффициентом
,
пересекающую ось
в точке с координатой
.
Для того, чтобы изобразить эту прямую
найдем ее точку пересечения с осью
.
Подставив в уравнение
,
получим что
.
По точкам пересечения с осями координат
несложно построить эту прямую см. рис.
3.2.
Y
X
Рис. 3.2
Если
прямая имеет угловой коэффициент
и проходит через данную точку
то
,
так как
,
то
уравнение прямой через данную точку с угловым коэффициентом к имеет вид:
С помощью угловых коэффициентов можно определить углы между прямыми.
Из школьной программы известна следующая теорема.
Теорема.
Тангенс угла
между прямыми
и
определяется формулой
Прямые
и
параллельны только в том случае когда
Прямые и перпендикулярны только в том случае, когда
Пример
2. Для прямой
запишем уравнения прямых
||
и
,
проходящих через точку
.
Прямая
имеет тот же угловой коэффициент, что
и
,
т.е.
.
Поэтому ее уравнение имеет вид:
,
т.е.
.
Прямая
имеет угловой коэффициент
,
т.е.
.
Ее уравнение записывается в виде:
,
т.е.
.
Определение. Любой ненулевой вектор
на прямой
называется ее направляющим
вектором.
Этот
вектор является базисным вектором этой
прямой. Координаты
обозначим через
.
Y
M0 
M
L
X
O
Рис. 3.3
Пусть
–
некоторая фиксированная точка на прямой
,
а
– произвольная точка на этой прямой
см. рис. 3.3. Обозначим координату вектора
в базисе
через
,
т.е.
.
Тогда
из соотношения
получим уравнение:
,
которое называется векторным уравнением прямой .
Здесь
.
3. Запишем абсциссы и ординаты обеих частей векторного уравнения, получим:
эти уравнения называются параметрическими уравнениями прямой на плоскости.
Поскольку векторы
и
коллинеарные, то строки, составленные
из их координат
и
пропорциональны, следовательно,
это уравнение называется уравнением прямой с направляющим вектором.
Пример
3. Напишем
уравнение прямой, проходящей через
точку
параллельно вектору
.
Подставим координаты точки и вектора
в уравнение, получим
;
5.
Пусть прямая
проходит через
две точки
и
.
Тогда вектор
с координатами
является направляющим для этой прямой.
Поэтому, из уравнения с направляющим вектором получим, что
Это уравнение называется уравнением прямой, проходящей через две заданные точки.
Пример
4. Запишем
уравнение прямой, проходящей через
точки
и
.
Подставив координаты точек в уравнение,
получим:
Раскрывая определитель в уравнении прямой с направляющим вектором, получим
Обозначим
через А, –
через
В,
через С, в результате получим:
.
Это уравнение называется общим уравнением прямой.
Следующая теорема обосновывает это название.
Теорема.
Любая прямая
на плоскости
определяется своим общим уравнением и
любое уравнение вида
,
где
задает некоторую прямую на плоскости.
Доказательство. То, что уравнение любой прямой можно свести к общему виду, было показано выше. Докажем вторую часть теоремы. Пусть имеется уравнение
.
Если
,
то
,
что есть уравнение прямой с угловым
коэффициентом.
Если
,
то
,
получим:
.
Это
уравнение определяет вертикальную
прямую, проходящую через точку
на оси
.
Не
следует думать, что между множеством
всех прямых на плоскости и множеством
всех общих уравнений имеется взаимно
однозначное соответствие. Например,
два уравнения
и
определяют одну и ту же прямую.
Определение.
Вектор
,
перпендикулярный прямой
,
называется нормальным
вектором этой
прямой.