Тема лекции: Аналитическая геометрия (3 часа) Аналитическая геометрия.

3.1 Прямая на плоскости

В этом параграфе мы рассмотрим различные виды уравнений прямых на плоскости и задачи, которые решаются с помощью этих уравнений.

1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

у

М(х,у)

у-в

х

х

О

Рис.3.1

Прямая на оси Оу пересекает точку и с положительным направлением оси Ох составляет угол

; ;

введем обозначение тогда

где - называется угловым коэффициентом.

Пример 1. Уравнение перепишем в виде

.

Следовательно, это уравнение определяет прямую с угловым коэффициентом , пересекающую ось в точке с координатой . Для того, чтобы изобразить эту прямую найдем ее точку пересечения с осью . Подставив в уравнение , получим что . По точкам пересечения с осями координат несложно построить эту прямую см. рис. 3.2.

Y

X

Рис. 3.2

Если прямая имеет угловой коэффициент и проходит через данную точку то

, так как , то

уравнение прямой через данную точку с угловым коэффициентом к имеет вид:

С помощью угловых коэффициентов можно определить углы между прямыми.

Из школьной программы известна следующая теорема.

Теорема. Тангенс угла между прямыми и определяется формулой

Прямые и параллельны только в том случае когда

Прямые и перпендикулярны только в том случае, когда

Пример 2. Для прямой запишем уравнения прямых || и , проходящих через точку . Прямая имеет тот же угловой коэффициент, что и , т.е. . Поэтому ее уравнение имеет вид:

, т.е. .

Прямая имеет угловой коэффициент , т.е. .

Ее уравнение записывается в виде:

, т.е. .

2. Определение. Любой ненулевой вектор на прямой называется ее направляющим вектором.

Этот вектор является базисным вектором этой прямой. Координаты обозначим через .

Y

M₀ M L

X

O

Рис. 3.3

Пусть – некоторая фиксированная точка на прямой , а – произвольная точка на этой прямой см. рис. 3.3. Обозначим координату вектора в базисе через , т.е. .

Тогда из соотношения получим уравнение:

,

которое называется векторным уравнением прямой .

Здесь .

3. Запишем абсциссы и ординаты обеих частей векторного уравнения, получим:

эти уравнения называются параметрическими уравнениями прямой на плоскости.

4. Поскольку векторы и коллинеарные, то строки, составленные из их координат и пропорциональны, следовательно,

это уравнение называется уравнением прямой с направляющим вектором.

Пример 3. Напишем уравнение прямой, проходящей через точку параллельно вектору . Подставим координаты точки и вектора в уравнение, получим

;

5. Пусть прямая проходит через две точки и . Тогда вектор с координатами является направляющим для этой прямой.

Поэтому, из уравнения с направляющим вектором получим, что

Это уравнение называется уравнением прямой, проходящей через две заданные точки.

Пример 4. Запишем уравнение прямой, проходящей через точки и . Подставив координаты точек в уравнение, получим:

6. Раскрывая определитель в уравнении прямой с направляющим вектором, получим

Обозначим через А, – через В, через С, в результате получим:

.

Это уравнение называется общим уравнением прямой.

Следующая теорема обосновывает это название.

Теорема. Любая прямая на плоскости определяется своим общим уравнением и любое уравнение вида , где задает некоторую прямую на плоскости.

Доказательство. То, что уравнение любой прямой можно свести к общему виду, было показано выше. Докажем вторую часть теоремы. Пусть имеется уравнение

.

Если , то , что есть уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Если , то , получим:

.

Это уравнение определяет вертикальную прямую, проходящую через точку на оси .

Не следует думать, что между множеством всех прямых на плоскости и множеством всех общих уравнений имеется взаимно однозначное соответствие. Например, два уравнения и определяют одну и ту же прямую.

Определение. Вектор , перпендикулярный прямой , называется нормальным вектором этой прямой.