Решение системы балансовых уравнений

Из определения технологических коэффициентов вытекает:

Следовательно, балансовые уравнения можно записать так:

Или в матричной форме:

Введя обозначения:

получим матричное уравнение откуда:

Умножим полученное уравнение на (Е-А)^-1:

откуда:

Планирование материального производства начинается с определения размеров и структуры общественного продукта. Решение матричного уравнения позволяет определить плановый объем производства отдельных продуктов таким образом, чтобы получить необходимые количества конечных продуктов. Полученное выражение позволяет быстро разработать разные варианты плана материального производства в соответствии с вариантами заданного конечного общественного продукта.

Введем обозначение:

Тогда можем записать:

Умножив, получим:

Данное уравнение показывает, что элементы матрицы есть величины, определяющие количественные соотношения между конечными продуктами всех отраслей и продуктами каждой отрасли. Постоянные A_ij показывают, насколько увеличится выпуск U_i сектора i при увеличении k_j, т. е. количества товара j, потребляемого домашними хозяйствами (или любым другим потребителем этого сектора) на единицу.

В качестве примера рассмотрим нашу трехсекторную экономику, где матри­ца технологических коэффициентов равна:

Примем два варианта потребности в конечном продукте:

1. k₁ = 50; k₂= 100,

2. k₁ = 75; k₂= 110.

Тогда

Для второго варианта имеем:

Кроме приведенной задачи, с помощью модели межотраслевого баланса ре­шаются и другие задачи: определение занятости в производстве; определение совокупных затрат труда; распределение совокупного общественного продукта; определение цен продуктов; определение размеров капитальных вложений. Рас­смотрим одну из них.

Определение цен продуктов

Цены в системе межотраслевых связей определяются из системы уравнений, каждое из которых устанавливает, что цена единицы выпуска соответствующего производственного сектора должна быть равна совокупным издержкам в про­цессе производства этой продукции (в расчете на единицу выпуска). В эти из­держки входит не только оплата затрачиваемых ресурсов, но и добавленная стоимость, которая представляет собой в основном платежи секторам конечного спроса (d_i). Эти платежи состоят обычно из зарплаты, процента на капитал, предпринимательской прибыли, налогов, выплачиваемых правительству и дру­гим секторам конечного спроса.

Обозначим через p_i цену единицы i-го продукта. Тогда балансовые уравнения можно записать так:

С ократив в обеих частях уравнений U_i получим систему уравнений:

или в матричной форме:

где А^T- транспонированная матрица технологических коэффициентов, а р и D - вектора цен и платежей секторам конечного спроса соответственно.

Матричное уравнение можно представить в виде:

откуда получим в окончательном виде:

Данное уравнение позволяет определить соответствующую цену продукт отрасли. Элементы матрицы измеряют зависимость цены р_j продукции сектора j добавленной стоимости d_i, полученной в секторе i в расчете на единицу продукции этого сектора.

В применявшемся выше примере добавленная стоимость, выплаченная в сельском хозяйстве и промышленности (т. е. зарплата), в расчете на единицу выпуска составляет 0,6 и 0,22 соответственно. Транспонированная матрица технологических коэффициентов равна:

Далее рассчитываем:

,

Тогда цены равны:

,

т. е. цены на сельскохозяйственную и промышленную продукцию, используемые при расчете стоимостных показателей межотраслевых потоков.

Внутреннее единство стоимостных и физических взаимосвязей в рамках открытой системы межотраслевых связей подтверждается следующим тождеством:

В левой части соотношения находится общая сумма добавленных стоимостей, выплаченная секторами системы секторам конечного спроса; в правой части - сумма стоимостей продуктов, доставленных всеми секторами секторам конечного спроса.