3. Основные представления о математических моделях для прикладных экономических исследований

Математическая модель – это описание объекта на математическом языке. Для формулировки модели необходимо указать список переменных модели, т. е. нефиксированных заранее величин, описывающих ту или иную сторону моделируемого явления. При этом надо указать, какие значения могут принимать переменные, какие преобразования можно проводить с ними. В некоторых случаях переменные могут принимать только целые неотрицательные значения. В экономико-математических исследованиях часто встречаются переменные, являющиеся функциями других переменных.

После формулировки списка переменных модели, необходимо указать, какие значения переменных могут реализоваться, т. е. указать множество допустимых значений переменных. Такое множество часто представляется с помощью системы ограничений на значения переменных. Эти ограничения выделяют среди всевозможных значений переменных допустимые значения.

Рассмотрим некоторые основные типы математических моделей, встречающихся в экономико-математических исследованиях.

Линейные статические модели

В них рассматривается конечное число переменных – n. Переменные модели мы обозначим как х₁, х₂,... х_n. Предполагается, что эти переменные принимают вещественные значения. Связи в линейной модели в соответствии с ее названием имеют вид системы линейных равенств и неравенств.

; (1)

(2)

где а_ij,и b_i – заданные числа.

Каждое равенство системы (1) можно представить в виде неравенств, т. е. система эквивалентна совокупности неравенств:

Поэтому линейную систему часто представляют в виде:

(3)

Здесь числа а_p и b_p не совпадают с коэффициентами систем (1) и (2).

Модели типа (3) наиболее простые среди экономико-математических моделей. Часто их записывают в сокращенном векторном виде. Для этого вместо n переменных в модели используют единственную – вектор х, имеющий n составляющих:

Чтобы подчеркнуть векторную природу переменной , применяют запись вида , где – n-мерное евклидово пространство. Принадлежность вектора пространству означает, что вектор имеет n вещественных составляющих x_j, причем векторы и , можно складывать по правилу: , и умножать на вещественное число λ: . Кроме того, определено произведение двух векторов: .

На основе понятия скалярного произведения модель (3) можно представить в сокращенном виде:

, (4)

где а_р = (а_р1 , а_р2,. . . , а_рт) ∈ Еⁿ – векторы, состоящие из коэффициентов системы (3).

Обычно векторная запись имеет еще более сокращенный вид. Для этого из коэффициентов a_pj системы (3) образуют прямоугольную матрицу:

а из коэффициентов b_р составляют вектор . Тогда соотношение (3) переписывается в виде:

≦b. (5)

В записи (5) использован знак неравенства ≦ . Для двух векторов а и b, принадлежащих пространству Еⁿ, запись а ≦ b означает, что выполняются неравенства

a_i ≤b_i,i=1,...,m, (6)

причем все они могут одновременно быть равенствами. Запись ≤ для векторов означает, что все неравенства (6) одновременно в равенство обращаться не должны.

Множество допустимых значений переменной х, которое мы обозначим рез X, для модели (3) является многогранным. Можно сказать, что рассматриваемые линейные статические модели имеют общий вид:

, (7)

где X – многогранное множество.

Для того чтобы описать конкретное множество X, его представляют в одном из видов (3), (4) или (5).