2. Производственные функции с постоянной эластичностью замещения ресурсов

Они имеют следующий общий вид

, (7)

где параметры положительны. Функцию можно представить в более удобной форме, эквивалентной исходной При :

(8)

Кроме того, функцию (7) иногда записывают в форме, удобной для запоминания (при δ = 1; b = 1):

В качестве примера функции типа (7) рассмотрим функцию с двумя производственными ресурсами и δ = 1:

. (9)

Переменные у, х₁, х₂ будем интерпретировать так же, как и для степенной, функции: у - конечная продукция народного хозяйства; х₁ - общее количества основных фондов, х₂ - количество трудовых ресурсов. Функция (9) характеризуется постоянной отдачей от увеличения масштаба производства, поэтому для нее можно рассмотреть функцию одной переменной, которая для (9) выглядит так:

, (10)

где .

Функция (10) изображена на рис. 2. Относительно параметров и сделано предположение, что = 1. Для сравнения показана функция:

Рис. 2

Эти функции имеют много общего. Они равны нулю при = 0, монотонно возрастают и вогнуты. Но есть два важных различия: предельная эффективность функции (10) при → 0 не стремится к бесконечности, а при →+∞ не стремится к бесконечности сама функция, т. к. ограничена асимптотой

.

Поскольку , то сильное отличие функции (10) от степенной функции при больших и малых значениях означает, что функция (9) отличается от степенной свойствами замещения одного ресурса другим. Для анализа свойств замещения построим изокванту функции (9), которая описывается соотношением:

Преобразовав это выражение, получим:

.

Т о есть уравнение изокванты имеет вид (рис. 3)

При x→∞ изокванта имеет асимптоту:

Это означает, что даже при неограниченном росте количества первого ресурса для выпуска продукции в количестве y₀ необходим второй ресурс в количестве, большем .

Аналогичная ситуация складывается при увеличении количества второго ресурса. Таким образом, полное замещение ресурсов, характерное для степенных производственных функций, отсутствует. Рассмотрим свойства. Подсчитаем эффективность j-го ресурса. Для этого продифференцируем (8) по x_j.

Отсюда следует:

(11)

На основе (11) можно показать, что предельная эффективность падает с ростом его объема при постоянных количествах других ресурсов.

Эластичность выпуска по j-му ресурсу имеет вид:

(12)

Таким образом, для функции (7) эластичности выпусков по ресурсам, отличие от степенных функций, уже непостоянны, т. е. отношение предельной эффективности ресурса к его средней эффективности изменяется.

При фиксированных затратах остальных ресурсов уменьшение количества j -го ресурса приводит к увеличению эластичности выпуска до величины δ, неограниченное увеличение – к падению эластичности выпуска по этому ресурсу до нуля. Поэтому отношение предельной эффективности ресурса к средней эффективности падает с ростом используемого объема ресурса.

Э ластичность производства, согласно (12), имеет вид:

(13)|

Эластичность производства не зависит от соотношения ресурсов, как и в случае степенной функции. Из (13) вытекает экономический смысл параметра δ: он характеризует отдачу от увеличения масштабов производства.

Итак, четыре предположения выполняются для функций (7).

Рассмотрим вопрос о замещении ресурсов. Предельные нормы замещения имеют вид:

(14)

Таким образом, предельные нормы замещения зависят от отношения ресурсов, причем так же, как и в случае степенных функций, изоклинали являются плоскостями, а при пропорциональном увеличении количеств обоих ресурсов предельная норма замещения не изменяется. Эластичность замещения будет равна:

(15)

Таким образом, хотя функция типа (7) по-прежнему имеет постоянную эластичность замещения ресурсов, эта эластичность, в отличие от степенных, производственных функций, не равна 1 и меняется при изменении параметра ρ от 1 (при р = 0) и до 0 (при р →∞).

Из-за этого свойства производственная функция (7) получила название производственной функции с постоянной эластичностью замещения, или сокращенно – ПЕЗ-функции. Распространено также название CES-функция, от английского названия Constant Elastisity of Substitution.

При ρ > 0 все характеристики функций с постоянной эластичностью замещения ε_j , ε_i , ε_ij , δ_ij стремятся к соответствующим характеристикам степенной производственной функции (1), причем между параметрами обеих производственных функций устанавливается следующее соответствие:

Если Σβ_i = 1 и δ=1, то а = b и а_j = b_j, и сама функция (7) стремится к функции (1) при ρ →0.

Таким образом, степенная производственная функция оказывается предельным случаем производственной функции с постоянной эластичностью замещения, и которая (CES), в свою очередь, является обобщением степенной производственной функции.