2.2 Операционное исчисление к расчёту электрических цепей

Цель: Научиться применять операционный метод при решении задач на расчёт электрических контуров.

Рассмотрим электрическую цепь (рис.8), состоящую из включенных последовательно индуктивности L, сопротивления R и ёмкости C, к которой в начальный момент t=0 приложена электродвижущая сила E(t). Как известно из электротехники, в этом случае сила тока i(t) определится из уравнения:

где заряд конденсатора q(t) и сила тока i(t) связаны соотношением

Рис. 8 – Электрическая цепь с индуктивностью L, сопротивлением R и ёмкостью C

Для решения этого уравнения можно применить метод операционного исчисления, который часто быстрее приводит к цели, чем классические методы.

Рассмотрим случай, когда q(0)=0 и i(0)=0. При этих условиях можно указать общие правила, которые позволяют получать уравнения в изображениях, не выписывая каждый раз дифференциальные уравнения.

Если q(0)=0, то , и уравнение

примет вид:

Положив I(p)i(t), E(p)e(t) и учитывая начальное условие i(0)=0, получим следующее уравнение в изображениях:

Отсюда

или

где

Величины I(p), E(p), Z(p) и называют, соответственно, операторным током, напряжением, сопротивлением и проводимостью. Величину Z(p), кроме того, называют обобщённым сопротивлением или импедансом цепи, а величину - обобщённой проводимостью цепи.

Равенство показывает, что для изображений тока и напряжения имеет место закона Ома. Для них справедливы так же первое и второе правила Кирхгофа. Действительно, переходя от равенств

,

являющихся математической записью этих правил, к равенствам в изображениях, получим

что и доказывает высказанное утверждение.

При параллельном соединении двух цепей токи i₁ и i₂ в этих цепях связаны с током i в неразветвленной части равенством:

i = i₁ + i₂

Переходя к равенству в изображениях и учитывая, что при параллельном соединении все элементы цепи находятся под одним и тем же напряжением е, получим:

I(p)=I₁(p) + I₂(p)

или

Отсюда следует, что

То есть обобщённая проводимость цепи равна сумме обобщённых проводимостей всех её ветвей.

Так же просто показать, что при последовательном соединении цепей обобщённое сопротивление цепи равно сумме обобщённых сопротивлений всех соединённых участков.

Для случая двух участков это запишется так:

Z(p)=Z₁(p) + Z₂(p)

В начальный момент t=0 в электрическую цепь (рис.8), состоящую из последовательно соединённых индуктивности L, сопротивления R и ёмкости C, включается постоянная электродвижущая сила u₀. Ток в цепи и заряд конденсатора в начальный момент равны нулю. Найти силу тока i(t) в цепи.

1. Так как i(0)=0 и q(0)=0, то операторное сопротивление:

Z(p)=L_p+R+ , а операторное напряжение U(p) =

2. Пользуясь законом Ома, найдём операторный ток:

I(p) = = = ,

где

3. Пользуясь формулами , , и теоремой смещения, получим

i(t)= ;

i(t)= ;

i(t)= .

4. Учитывая, что , можно сказать, что первый результат будет при R ; второй - R и третий – при R .

В первом случае в цепи происходит затухающий колебательный процесс.

Число называется коэффициентом затухания; при наличии R он не равен нулю, и чем больше, тем быстрее уменьшается ток.

Число называется круговой частотой; она равна числу колебаний, происходящих в цепи за время 2 секунд.

В начальный момент t=0 в электрическую цепь (рис.8), состоящую из последовательно соединённых индуктивности L, сопротивления R и ёмкости C, включается постоянная электродвижущая сила u₀. Ток в цепи и заряд конденсатора в начальный момент равны нулю. Охарактеризуем колебательный процесс.

Дано: R = 10 Ом L = 0,03 Гн С = 0,0006 Ф

Решение: 1. Так как i(0)=0 и q(0)=0, то операторное сопротивление: Z(p)=Lp+R+ , а операторное напряжение U(p) = 2. Пользуясь законом Ома, найдём операторный ток: I(p) = = = , где = = 166,7 = = = 55555,55 – 27777,77 = 27777,78 3. Пользуясь формулами , , и теоремой смещения, получим i(t)= ; i(t)= ; i(t)= . 4. Учитывая, что , можно сказать, что первый результат будет при R ; второй - R и третий – при R . = 2 = = 14,1 Проведём сравнение: 10 < 14,1 В нашем случае R , поэтому в цепи происходит затухающий колебательный процесс.

Найти: Охарактеризовать колебательный процесс

[Введите текст] Страница 28