2.2. Непрерывные случайные величины
Непрерывной случайной величиной называется такая случайная величина, которая может принимать любые значения из конечного или бесконечного интервала. Например, размер детали массового производства.
Характеристиками непрерывной случайной величины являются математическое ожидание, дисперсия, среднеквадратическое отклонение.
;
;
.
Вероятность попадания случайной величины Х в интервал определяется по формуле
.
Наиболее распространенными видами распределения непрерывной случайной величины являются равномерное, показательное и нормальное.
Равномерным
распределением непрерывной случайной
величины
называется
распределение, при котором все ее
значения находятся в интервале
,
а плотность распределения постоянна и
равна
.
Числовые
характеристики
,
.
Показательным
(экспоненциальным)
распределением
непрерывной случайной величины называется
распределение, дифференциальная функция
которого имеет вид:
,
при
;
при
,
а числовые характеристики
,
.
Нормальным
распределением
непрерывной
случайной величины
называется распределение, дифференциальная
функция которого имеет вид:
,
где a
– математическое
ожидание случайной величины,
– среднее квадратичное отклонение.
Вероятность
того, что случайная нормально распределенная
величина Х
примет значение, находящееся в интервале
вычисляется по формуле
(
,
где
– функция Лапласа.
Примеры
Время ожидания поезда распределено равномерно в интервале [0,5] (мин.).
Найти плотность вероятности времени ожидания, функцию распределения, среднее время ожидания и вероятность того, что ожидающий будет ждать поезд не более трёх минут.
Решение.
при
;
при
;
при
.
при
;
при
;
при
.
;
.
Вероятность того, что во время лекции преподаватель объяснит дополнительный материал, равна 0,01. Определить среднее время лекций без дополнительного материала и вероятность того, что в течение пяти «пар» преподаватель ни разу не изложит его.
Решение.
мин, при этом по времени 5 учебных «пар»
равны 400мин.
Тогда,
.
Количество слов и выражений в лексикологической программе компьютера подчинено закону нормального распределения со средним значением равным 500 и средним отклонением – 36.
Найти вероятность того, что наудачу выбранная машина имеет в памяти от 400 до 550 слов и выражений.
Решение.
,
,
.
Ведутся испытания новейшей ракеты. Ошибка наведения – случайная величина, нормально распределённая с параметрами
и
м.
Найти вероятность того, что наведение произведено:
а) с ошибкой, не превышающей 8 м;
б) с ошибкой меньше 5 м.
Решение.
а)
.
б)
.
Вследствие некачественной установки операционной системы в работе компьютера случаются «зависания» этой системы. Допустим, что 3 часа – это время работы компьютера до первого «зависания», а среднее число неисправностей за сутки равно 8. Работа до «зависания» распределена по показательному закону:
,
.
При этом на перегрузку системы достаточно
0,5 часа, после чего компьютер работает
до «зависания».
Найти вероятность того, что промежуток времени между двумя «зависаниями» больше пяти часов.
Решение.
-промежуток
времени равен трём. Случайная величина
распределена по показательному закону
и плотность вероятности для нее имеет
вид:
при
;
при
.
Тогда функция распределения имеет вид:
при
;
при
.
Искомую
вероятность того, что промежуток
между двумя «зависания» будет больше
пяти часов при условии, что перегрузка
длится 0,5 часа, вычисляется по формуле:
,
откуда
.
Т.о. вероятность очень мала.
при
и
при
.
Найти
параметр а,
все характеристики случайной величины
Х,
.
Решение.
Для нахождения параметра a
воспользуемся следующим свойством
плотности распределения
:
.
Откуда
.
Таким
образом,
при
и
при
.
;
.
.
Затаривание мешков с сахаром произведено без систематических ошибок. Случайные ошибки подчинены нормальному закону со среднеквадратическим отклонением
г.
Найти вероятность того, что затаривание будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 100 г.
Решение. В задаче рассматривается случайная величина Х – ошибка взвешивания, a – математическое ожидание, нормативное значение веса мешка сахара.
Требуется найти:
.
Время ожидания автобуса Х измеряется в минутах и распределено равномерно на отрезке [0;30]. Определить среднее время ожидания автобуса, дисперсию и вероятность того, что ждать придется не более 10 минут.
Решение.
оценивается по формуле
;
(мин).
оценивается
по формуле
;
.
Интенсивность отказов прибора
.
Оценить среднюю наработку на отказ T
и вероятность безотказной работы в
течение 500 часов.
Решение. Х – время поступления первого отказа.
Тогда,
;
;
;
ч. – средняя наработка на отказ.
Вероятность безотказной работы в течение 500 часов:
.