Примеры

98. При уровне значимости проверить нулевую гипотезу об однородности двух выборок объемов n₁=6 и n₂=8:

x_i: 15 23 25 26 28 29

y_i: 12 14 18 20 22 24 27 30

Конкурирующая гипотеза Н₁: .

Решение. Составим таблицу:

порядковый номер	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
варианты	12	14	15	18	20	22	23	24	25	26	27	28	29	30

= 3+7+9+10+12+13 = 54;

q = α/2 = 0,05/2 = 0,025; n₁ = 6, n₂ = 8.

= 29; = (6+8+1)·6–29 = 61.

Итак, 29<54<61, следовательно, нет оснований отвергать нулевую гипотезу об однородности выборок.

99. При уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу об однородности двух выборок объемов n₁=30 и n₂=50 при конкурирующей гипотезе Н₁: , если известно, что =1600.

Решение. Найдем z_кр; Ф( z_кр =2,58;

=81·30 – 954 = 1476.

Так как 1600 > 1476 ( ) – нулевая гипотеза отвергается.

Глава 7. Корреляционный и регрессионный анализ. Выявление связи между величинами

Корреляционный метод позволяет получить числовые показатели, характеризующие степень (тесноту) связи между двумя или несколькими признаками.

Для характеристики количественной связи между явлениями и отдельными признаками следует различать функциональную (полную) и статистическую (неполную) связь между признаками.

Статистической называют зависимость случайной величины Y от X, при которой изменение одной из величин (X) влечет изменение другой (Y).

Возникновение понятия статистической связи обуславливается тем, что зависимая переменная подвержена влиянию ряда контролируемых или неучтенных факторов, а также тем, что изменение значений переменных неизбежно сопровождается некоторыми случайными ошибками.

Корреляционная зависимость между двумя переменными величинами – это зависимость между значениями одной из них и условным математическим ожиданием другой.

Сравнивая различные виды зависимости между Х и Y, можно сказать, что с изменением значений переменной Х при функциональной зависимости однозначно изменяется определенное значение переменной Y, при корреляционной – определенное среднее значение Y, при статистической – определенное распределение переменной Y.

Статистические связи между переменными можно изучать методами корреляционного и регрессионного анализа. Основной задачей регрессионного анализа является установление формы и изучение зависимости между переменными. Основной задачей корреляционного анализа является выявление связи между случайными переменными и оценка ее тесноты.

Установление форм связи и подбор математического уравнения в большинстве случаев решается на основе логического анализа предыдущих исследований, данных статистических группировок, графического метода.

Линейная парная связь выражается уравнением прямой регрессии:

где а – угловой коэффициент прямой регрессии Y на Х, называемый выборочным коэффициентом регрессии.

При малых выборках данные не группируются. Параметры а и b находятся по методу наименьших квадратов из нормальной системы уравнений

(7.1)

где n – число наблюдаемых значений пар взаимосвязанных величин (x_i;y_i).

Выборочные уравнения прямой линии регрессии имеют вид:

- уравнение прямой регрессии Y на Х; (7.2)

- уравнение прямой регрессии Х на Y. (7.3)

Выборочный линейный коэффициент корреляции характеризует тесноту связи между Х и Y. Коэффициент корреляции находится по формуле:

(8)

где и - выборочные средние случайных величин Х и Y;

- среднее значение произведений

и - выборочные средние квадратические отклонения,

Свойства коэффициента корреляции :

1) Если =0, то Х и Y не связаны корреляционной зависимостью;

2) Если то Х и Y связаны функциональной зависимостью;

3) Если коэффициент корреляции положителен, то связь прямая; если коэффициент корреляции отрицателен, то связь обратная;

4) Связь тем теснее, чем ближе к единице:

связь практически отсутствует	связь слабая	связь умеренная	связь высокая