Примеры

82. Из генеральной совокупности извлечена выборка

xi	2	5	7	10
mi	16	12	8	14

Найти несмещенные оценки генеральной средней и дисперсии.

Решение. 1) n = 16+12+8+14 = 50.

Несмещенной оценкой генеральной средней является выборочная средняя

2) Несмещенной оценкой генеральной дисперсии является исправленная дисперсия

.

; .

83. Случайная величина Х (число нестандартных изделий в партии изделий) распределена по закону Пуассона. Распределение задано таблицей

xi	1	1	2	3	4
mi	132	43	20	3	2

Найти методом моментов точечную оценку неизвестного параметра распределения Пуассона.

Решение. Согласно методу моментов для распределения с одним параметром, его оценка определяется из решения уравнения

.

Математическое ожидание случайной величины, распределенной по закону Пуассона равно . Следовательно, получаем .

Итак, для оценки параметра необходимо найти выборочное среднее арифметическое значение:

;

84. Найти методом моментов по выборке , , …, точечные оценки неизвестных параметров а и b равномерного распределения.

Решение. Так как равномерное распределение определяется двумя параметрами, метод моментов сводится к решению системы уравнений

.

Поскольку, при равномерном распределении , , для определения оценок параметров a и b необходимо решить систему уравнений

 .

Итак, , .

85. Найти методом наибольшего правдоподобия точечную оценку неизвестного параметра р биноминального распределения.

Решение. Запишем функцию правдоподобия для дискретной биноминально распределенной случайной величины. Так как при биноминальном распределении , где n – число опытов, m – количество испытаний в одном опыте, следовательно, функция правдоподобия имеет вид

· ·…· = .

Для простоты вычислений возьмем от функции L натуральный логарифм:

lnL=ln( )=ln(П ) +

Для нахождения экстремума функции ln(L) продифференцируем ее по переменной р:

Далее, для вычисления критических точек решим уравнение

(1)

Чтобы определить, будет ли полученное значение р являться точкой максимума, найдем вторую производную функции ln(L), и ее значение в точке . Если это значение меньше нуля то, полученная критическая точка, является точкой максимума.

Так как, 0≤р≤1, то согласно условию (1), получаем и из определения биноминального распределения поэтому для любого р, в том числе и для

Итак, значение является максимальным для функции правдоподобия, а, следовательно, и оценкой неизвестного параметра р биноминально распределенной случайной величины.

86. Найти методом наибольшего правдоподобия оценки параметров а и нормального распределения.

Решение. Для определения оценок параметров а и σ решим систему дифференциальных уравнений:

Так как функция плотности распределения нормальной случайной величины имеет вид ,

следовательно, функция правдоподобия

… =

Тогда, ; ; - оценки параметров нормального распределения.