Примеры

75. По выборке 4, 6, 7, 7, 10, 15, 18 найти числовые характеристики выборки.

Решение. 1) Среднее арифметическое значение

= 1/7(4+6+7+7+10+15+18)=67/7=9,57.

2) Выборочная дисперсия

S² = –( )² = 1/7(4²+6²+7²+7²+10²+15²+18²)–(9,57)² =

= 1/7(16+36+49+49+100+225+324)–91,5849=799/7–91,5849 = 22,56.

3) Выборочное среднее квадратическое отклонение

.

4) Мода (т.к. значение встречается в выборке чаще остальных значений, а именно 2 раза).

5) Медиана .

6) Коэффициент вариации .

76. Найти числовые характеристики выборки, заданной таблицей

xi	2	6	12
mi	3	10	7

Решение. 1) .

Среднее арифметическое = 1/20(23+610+127) = 150/20=7,5.

2) Выборочная дисперсия

S² = –( )² = 1/20(2²·3+6²·10+12²·7)–(7,5)² = 1/20(12+360+1008)–56,25 = 69–56,25 = 12,75.

3) Среднее квадратическое отклонение .

4) Мода .

5) Медиана = .

6) Коэффициент вариации .

77. Найти числовые характеристики выборки, заданной таблицей

варианты, xi	1	4	6	10
относительная частота,	0,15	0,28	0,25	0,32

Решение. 1) Среднее арифметическое

; = 1·0,15+4·0,28+6·0,25+10·0,32 = 0,15+1,12+1,5+3,2 = 5,97.

2) Дисперсия

S² = –( )² = = (1²·0,15+4²·0,28+6²·0,25+10²·0,32) –

– (5,97)² = 45,63–35,6409 = 9,9891.

3) Среднее квадратическое отклонение .

4) Мода Мо = 10.

5) Медиана .

6) Коэффициент вариации .

78. При обследовании надоя коров случайным образом отобрали 307 коров, данные по ним сгруппировали и составили таблицу

надои	3000-3400	3400-3800	3800-4200	4200-4600	4600-5000
число коров	43	71	102	64	27

Найти выборочное среднее, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду, медиану.

Решение. Составим таблицу числа наблюдения значений, приняв в качестве x_i середины интервалов

надои	3200	3600	4000	4400	4800
число коров	43	71	102	64	27

n = 43+71+102+64+27 = 307.

1) = 1/307(3200·43+3600·71+4000·102+4400·64+4800·27) = 1212400/307 = 3949,2.

2) S² = 1/307(3200²·43+3600²·71+4000²·102+4400²·64+4800²·27)–(3949,2)² = 213591,3469.

3) .

4) Мо = 4000 (интервал 3800-4200).

5)

79. При взвешивании груза получены следующие данные 129, 125, 130, 122, 135, 125, 120, 130,127. Определить среднее значение веса груза, среднюю ошибку взвешивания.

Решение. Составим статистическое распределение веса груза

вес, xi	120	122	125	127	129	130	135
частота, mi	1	1	2	1	1	2	1

Так как первоначальные варианты х – большие числа, поэтому перейдем к условным вариантам . Возьмем , тогда . В итоге получим распределение условных вариантов

вес, xi	–	–3	0	2	4	5	10
частота, mi	1	1	2	1	1	2	1

1) Найдем выборочную среднюю по формуле ;

= 1/9(–5–3+0+2+4+10+10)+125 = 18/9+125 = 2+125 = 127.

2) Вычислим выборочную дисперсию. На основании свойства 3 дисперсии получаем ;

= 1/9((–5)²·1+(–3)²·1+0²·2+2²·1+4²·1+5²·2+10²·1)–2² = 22,(6)–4 = 18,(6).

3) Выборочное среднее квадратическое отклонение .

Итак, средний вес груза равен 127 кг, средняя ошибка взвешивания – 4,32 кг.

80. Найти числовые характеристики выборки, заданной таблицей

хi	0,01	0,03	0,04	0,07
mi	16	22	47	15

Решение. 1) Перейдем к условным вариантам , где , т.е. .

Таблица примет вид

хi	1	3	4	7
mi	16	22	47	15

Согласно свойству 2 средней арифметической, получим

;

2) По свойству 2 дисперсии получим

3) Среднее квадратическое отклонение .

4) .

5) .

81. Вычислить коэффициенты асимметрии и эксцесса распределения рабочих цеха по тарифному разряду.

тарифный разряд, xi	1	2	3	4	5	6
количество рабочих, mi	2	3	6	8	22	9

Решение. = 2+3+6+8+22+9 = 50;

= (1·2+2·3+3·6+4·8+5·22+6·9) = (2+6+18+32+110+54) = ·222 = 4,44.

(1·2+4·3+9·6+16·8+25·22+36·9)–(4,44)² = (2+12+54+128+550+324)-(4,44)² = 21,4 – 19,7136=1,6864.

.

Тогда,

=

= = =-0,961.

= = =3,277 -3=0,277.