Лабораторная работа № 2 численное решение ду высших порядков или систем оду
Цель работы
1. Знакомство с методами решения дифференциальных уравнений (ДУ) высших порядков и систем ОДУ.
2. Разработка численной ММ, реализующей один из методов.
3. Оценка точности полученной ММ при помощи средств MATLAB.
Обыкновенным
дифференциальным уравнением n-го
порядка называется уравнение вида
уравнение
,
где F
– известная функция n+2
переменных, определенная в области
ОR3;
x
– неизвестная переменная, заданная на
отрезке [a,b];
y=y(x)
– неизвестная функция; y,y,…,y(n)
– ее производные, n
– порядок уравнения.
Функция
y(x)
называется решением
ДУ, если она
при всех x[a,b]
удовлетворяет уравнению
.
Задача
,
или
для x[a,b],
при y(xo)=yo,
y(xo)=yo,1
,…,
y(n-1)(xo)=yo,n-1 называется задачей Коши или задачей с начальными условиями и имеет единственное решение.
Задача Коши для дифференциального уравнения n-го порядка при помощи вспомогательных функций (y1=y, y2=y1=y, …, yn=yn-1=y(n-1)) может быть сведена к задаче Коши для системы из n ДУ 1-го порядка. Данная система в векторной форме может быть записана в виде Y=F(x,Y), Y(x0)=Y0, где Y=(y1(x), y2(x), …, yn(x)), F(x,Y)=(y2,y3,…,yn, f(x,y1,…,yn)).
Численное решение задачи Коши для этой системы состоит в построении таблицы приближенных значений координат yi1, yi2,…,yin вектора решения Yi(x) в точках x1, x2, …, xN (N – число узлов сетки). Эти координаты для каждой вспомогательной функции y1, y2, … ,yn могут быть найдены при помощи методов, рассмотренных в лабораторной работе №1.
Пусть
необходимо решить ДУ второго порядка
для x[a,b]
с начальными условиями y(a)=yo,
y(a)=yo,1.
Тогда, используя вспомогательные функции
y1=y
и y2=y1=y,
с учетом y2=y,
получим следующую систему из 2-х ДУ
первого порядка:
|
|
При решении полученной системы методом Рунге-Кутты (см. л.р. № 1) набор используемых формул примет следующий вид
;
;
где
;
;
;
;
;
;
;
.
Метод Рунге-Кутты-Фельберга (с автоматическим изменением шага) имеет погрешность порядка h5 и реализуется с учетом Y={y1,y2,… yj,…,ym}, K0={k01,…k0m}, K1={k11,…k1m}, K2={k21,…k2m}, K3={k31,…k3m}, K4={k41,…k4m}, K5={k51,…k5m} (m – число ДУ в системе, j – номер ДУ) при помощи следующих выражений:
;
;
;
;
;
;
;
.
Тогда погрешность
.
Если
,
то вычисления продолжаются с шагом h,
если
– шаг h
уменьшается вдвое, если
- шаг увеличивается в два раза.
Устойчивость уравнения и систем
Устойчивость уравнения определяется сближением кривых семейства решений сe-x уравнения y=f(x,y) с ростом х (якобиан J<0), если кривые расходятся, то уравнение называется неустойчивым (J>0). Уравнение общего вида может демонстрировать на различных участках отрезка интегрирования оба типа поведения. Например, уравнение y=-2(x-1)y обладает семейством решений y=cexp(-(x-1)2). Кривые из этого семейства на отрезке [0,2] вначале будут удаляться друг от друга (якобиан J= f/ y=-2(x-1) при x<1 положителен), а затем сближаться (J=-2(x-1) при x>1 отрицателен).
Жестким называют сверхустойчивое уравнение (J<<0).
Устойчивость систем ДУ связана с собственными значениями матрицы J. Собственные значения – это числа 1,…,n, для которых матрица J-iI будет вырожденной, т.е. определитель матрицы равен нулю (для одного уравнения 1=J).
В общем случае, i – это комплексные числа, которые не постоянны и зависят от x и решения y. Доказано, что наибольшее влияние на устойчивость системы оказывает собственное значение с максимальной вещественной частью [3]. Для большинства практических задач наличие у всех собственных значений отрицательных вещественных частей обусловливает устойчивость решений. Положительные вещественные части обычно соответствуют областям с расходящимися неустойчивыми решениями. Системы, собственные значения которых имеют как положительные, так и отрицательные вещественные части, или все i нулевые также в большинстве случаев неустойчивы. Жесткость системы определяется наличием большого (по модулю) отрицательного собственного значения.
Устойчивость систем линейных ДУ связана с аналогичной оценкой корней их характеристических уравнений.