Тема 1: Повторение базисного курса. §1.1. Формулы сокращённого умножения.

1. а²-b²=(a-b)(a+b) - разность квадратов

2. (a+b)²=a²+2ab+b² – квадрат суммы

3. (a-b)²=a²-2ab+b² – квадрат разности

4. a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²) – сумма кубов

5. a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²) – разность кубов

6. (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³ – куб суммы

7. (a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³ – куб разности

Пример 1. Раскрыть скобки в выражении: (3х + 2)²

Решение. а) Воспользуемся формулой (2), учитывая, что в роли а – выступает 3х, а в роли b — число 2. Получим: (Зх + 2)² = (3х)² + 2∙3х∙2 + 2² = 9x² + 12x + 4.

Пример 2. Вычислить: 79 ∙81 = (80 - 1) (80 + 1)= 80² - 1² = 6400 - 1 = 6399

Пример 3. Вычислить: 71² = (70 + 1)² = 70² + 2∙70∙1 + 1² = 4900 + 140 + 1 = 5041.

Задания по вариантам:

№ варианта	Раскройте скобки	Вычислите:	Решите уравнение:
1	(а + 3)2; (2a +p)2; (a-4)2+a(a+8).	792; 69∙71.	8х(1+2х)-(4х+3)(4х-3)=2х
2	(b- 4)2; (3c – 2t)2; (y-5)2-(y-2).	392; 31∙29.	х-3х(1-12х)=11-(5-6х)(6х+5)
3	(с + 3)2; (6x – 3k)2; (x-7)x+(x+3)2.	592; 89∙91.	(6х-1)(6х+1)-4х(9х+2)=-1
4	(m-2)2; (7y + 6e)2; b(b+4)-(b+2)2.	692; 99∙101.	(8-9х)х=-40+(6-3х)(6+3х)
5	(x +1)2; (8x + 3y)2; (3а-b)(3а+b)+b2.	212; 58∙62.	(х-6)2-х(х+8)=2
6	(y-2)2; (6m-4n)2; 9x2-(y+4x)(y-4x).	312; 82∙78.	9х(х+6)-(3х+1)2=1
7	(a-5)2; (9p-2q)2; (7m-10n)(7m+10n)-100n2.	612; 42∙38.	х(х-1)-(х-5)2=2
8	(c+8)2; (10z+3t)2; (5c-6d)(5c+6d)-25c2.	422; 18∙22.	16х(2-х)+(4х-5)2=1
9	(7-a)2; (3a+5x)2; 2(a-2)(a+2).	622; 28∙32.	9х2-1-(3х-2)2=0
10	(9+b)2; (6y-5z)2; 5c(c+3)(c-3).	282; 49∙51.	х+(5х+2)2=25(1+х2)

§1.2.Способы разложения многочленов на множители §1.2.1 Вынесение общего множителя за скобки.

Алгоритм отыскания общего множителя нескольких одночленов

1. Найти наибольший общий делитель коэффициентов всех одночленов, входящих в многочлен, — он и будет общим числовым множителем (разумеется, это относится только к случаю целочисленных коэффициентов).

2. Найти переменные, которые входят в каждый член многочлена, и выбрать для каждой из них наименьший (из имеющихся) показатель степени.

3. Произведение коэффициента, найденного на первом шаге, и степеней, найденных на втором шаге, является общим множителем, который целесообразно вынести за скобки.

Замечание. В ряде случаев полезно выносить за скобку в качестве общего множителя и дробный коэффициент.

Пример 1. Разложить на множители: -х⁴у³-2х³у² + 5х².

Решение. Воспользуемся сформулированным алгоритмом.

1) Наибольший общий делитель коэффициентов -1, -2 и 5 равен 1.

2) Переменная х входит во все члены многочлена с показателями соответственно 4, 3, 2; следовательно, можно вынести за скобки х².

3) Переменная у входит не во все члены многочлена; значит, ее нельзя вынести за скобки.

В ы в о д: за скобки можно вынести х². Правда, в данном случае целесообразнее вынести за скобки -х².

Получим: -х⁴у³-2х³у² + 5х² = -х²(х²у³+2ху²-5)

Задания по вариантам:

№ варианта	Разложить на множители	Вычислите наиболее рациональным способом
1	3х+3у 2,4x+7,2y 2z5q2-4z3+6z2q3	1542+154∙46
2	3x+6y 1,8x-2,4y xy3+5x2y2-3x2y	0,23+0,22∙0,8
3	5a-5b 0,01a+0,03b 7a4b3-14a3b4+21a2b5	1672-167∙67
4	5a-15b 1,25x-1,75a 8x3y3+88x2y3-16x3y4	0,92-0,81∙2,9
5	7a+7y 0,5a-1,5c 15x3y2+10x2y-20x2y3	1322-132∙32
6	7a+14y 0,01a+0,05b 12a2b4-36a2b+44abc	252+25∙75
7	8x-8a 0,001a+0,005b 195c6p5-91c5p6+221c3p10	1832-183∙83
8	8x-32a 0,18x+0,24y 42a4b-48a3b2-78a2b3	0,43+0,32∙0,6
9	15a-25b 0,24x-0,72y 35x3y2+15x2y2-20x2y3	312+31∙69
10	12d-6v 0,03a+0,09b 8x3y3-88x2y3+32x3y4	312+31∙169