1.5.1.Область определения логических функций

Областью определения функции n переменных x_n-1,…,x₀ является совокупность точек n-мерного пространства, причем каждая из точек задается определенной комбинацией значений этих переменных где e_p =0 или 1, (p=0,1,2,…,n-1).

Например – пусть есть некая функция 4х переменных n=4 то одна из точек определения этой функции V_i =(e_n-1…e_p…e₀) где i=e_n-1…e_p…e₀ (например, V_i=1100).

Из этих соотношений видно, что точки определения можно посчитать по порядку от 0 до 2ⁿ как в двоичном счете, так и десятичном и в любом другом. Поэтому область определения функции f(v) n переменных имеет 2ⁿ точек т.е.

Для задания функции f(v) следует указать ее значения во всех точках области определения т.е. следует задать значения f(v_i)=0 или 1 где i=0,1,2,…,2ⁿ-1. В совокупности эти значения представляют некое двоичное число из 2ⁿ разрядов т.к. имеется всего различных 2ⁿ разрядных двоичных чисел, то и число различных функций n переменных равно .

Функции n переменных могут зависеть не от всех переменных x_n-1…x₀. Такие функции называются вырожденными.

Также функция может быть задана как во всех точках определения, так и не во всех:

• функция n переменных f(v) называется полностью определенной, если ее значения f(v_i)=0 или 1 заданы во всех 2ⁿ точках V_i области определения;

• если же значение функции не задано хотя бы в одной точки V_i, то она называется не полностью определенной, это означает, что функция в этой точке может иметь значение 1 или 0 – и это не важно – такое значение будем называть коэффициентом с;

• если значения функции не заданы во всех точках V_i, то она называется полностью неопределенной.

1.5.2.Таблица истинности

Так как область определения любой функции n переменных конечна 2ⁿ точек она может быть задана таблицей значений f(v_i)=0 или 1 которые она принимает в точках v_i, где i=0,1,…,2^n-1. Такие таблицы называются таблицами истинности.

Например: функция 2х переменных

Vi точки определения функции	Значения точек определения функции (значения e1,e0 переменных функции x1,x0)	Значение функции f(v) в точках определения
V0	0 0	1
V1	0 1	0
V2	1 0	0
V3	1 1	0

1.5.3.Логические функции одной переменной

Разберем параметры таких функций:

• n=1 – число переменных;

• m=2 – число точек определения;

• N=4 – число всех функций одной переменной.

Рассмотрим каждую функцию:

1. – нулевая функция.

2. – функция повторения.

3. – функция отрицания.

4. – единичная функция.

Таблица истинности функций одной переменной

Vi	x0
0	0	0	0	1	1
1	1	0	1	0	1

1.5.4.Логические функции двух переменных

Рассмотрим параметры функций:

• n=2 – число переменных;

• m=4 – число точек определения;

• N=16 – число всех функций двух переменных.

Таблица истинности всех функций двух переменных

Vi	x1,x0
0	0 0	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1
1	0 1	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1
2	1 0	0	0	0	0	1	1	1	1	0	0	0	0	1	1	1	1
3	1 1	0	0	0	0	0	0	0	0	1	1	1	1	1	1	1	1

Значительный интерес представляют невырожденные функции, которые разберем подробно:

1. Функция логического умножения (конъюнкция).

– логическое умножение, описывает работу логического элемента И.

Vi	x1,x0
0	0 0	0
1	0 1	0
2	1 0	0
3	1 1	1

2. Функция логического сложения (дизъюнкция)

– логическое сложение, описывает работу логического элемента ИЛИ.

Vi	x1,x0
0	0 0	0
1	0 1	1
2	1 0	1
3	1 1	1

3. Функция сложение по модулю два (исключающее ИЛИ, неравнозначность)

– сложение по модулю два, применяется для арифметического сложения

Vi	x1,x0
0	0 0	0
1	0 1	1
2	1 0	1
3	1 1	0

4. Функция Пирса логическое сложение с отрицанием, отрицание дизъюнкции (стрелка Пирса ИЛИ-НЕ)

– логическое сложение с отрицанием ИЛИ-НЕ

Vi	x1,x0
0	0 0	1
1	0 1	0
2	1 0	0
3	1 1	0

5. Функция Шеффера, отрицание от логического умножения (штрих Шеффера И-НЕ)

– логическое умножение с отрицанием И-НЕ

Vi	x1,x0
0	0 0	1
1	0 1	1
2	1 0	1
3	1 1	0

Функции двух переменных исключительно важны в силу того, что любая логическая функция n переменных может быть получена из них методом суперпозиции – подстановкой этих функций в место переменных в другие функции.