Лекция 2.

Давление жидкости на плоские и криволинейные поверхности.

При определении силового действия жидкости на твердую поверхность обычно решают две задачи: определяют величину равнодействующей сил гидростатического давления и находят точку ее приложения, которая имеет название: центр давления.

4. Сила давления жидкости на плоское горизонтальное дно.

Точка приложения этой силы – центр тяжести площадки . Если определим силу гидростатического давления Р на площадку как , то , где Р_изб – сила избыточного давления.

5. Сила давления жидкости на произвольно ориентированную плоскую поверхность.

Рис. 9. Вывод величины и точки приложения силы гидростатического давления на плоскую поверхность.

Здесь : С- центр тяжести

D- центр давления

В пределах площадки выберем бесконечно малую площадку dω – на глубине h на расстоянии X по оси Z и Z по оси X.

h_c – расстояние от свободной поверхности жидкости до центра С тяжести площадки – глубина погружения центра тяжести.

h_d – глубина погружения точки, в которую приложена равнодействующая силы гидростатического давления или глубина погружения центра давления.

X_c, X_д; Z_c, Z_д – координаты указанных центров.

Сила гидростатического давления, действующая на элементарную площадку dω:

Полная сила гидростатического давления на площадку :

(2)

Поскольку на свободную поверхность давление действует постоянное по величине давления, то интеграл от константы равен:

Второй интеграл:

Здесь

- статический момент площадки относительно оси ох - поэтому =

Подставив оба интеграла в выражение равнодействующей силы (2), получим:

Сила полного гидростатического давления на произвольно ориентованную плоскую поверхность равна произведению полного гидростатического давления в центре тяжести рассматриваемой площадки на величину этой площадки.

Координаты точки приложения силы полного гидростатического давления определяются как для равнодействующей параллельных сил - силы избыточного давления и силы внешнего давления на свободную поверхность:

Р₀ прикладывается в центре тяжести рассматриваемой площадки. Если_, открыта поверхность жидкости, то Р₀=Р_атм и сила Р₀ часто исключается из расчетов.

Определяем точку приложения (X_D, Z_D). Составляем уравнения моментов относительно оси ОХ на основании теоремы Вариньона (момент равнодействующей сил равняется сумме моментов всех составляющих сил относительно любой оси для тела, находящемся в состоянии механического равновесия):

, то есть

где

dР_изб - элементарная сила избыточного давления на элементарную площадку dω на расстоянии Z от оси ОХ.

Р_изб – сила избыточного давления на всю площадку .

где h=zsin

Здесь - момент инерции площадки – относительно оси ox ‒

- центральный момент инерции – относительно оси, проходящей через центр тяжести С и параллельно оси Х:

Центр давления всегда находится ниже, чем центр тяжести.

Составим уравнение моментов относительно оси Z_D и получим координату X_D – точки приложения равнодействующей силы избыточного давления – центра давления.

Для площадок, симметричны относительно оси, параллельной оси ОХ, центр тяжести и центр давления расположены на одной вертикальной прямой, параллельной оси Z.

с) Давление жидкости на криволинейную поверхность.

Рис. 10. Сила гидростатического давления на криволинейную поверхность.

Выберем в среде жидкости, находящейся в состоянии покоя, произвольный объем W, ограниченный поверхностью S.

Силы гидростатического давления направлены по внутренним нормалям к граничной поверхности. Виделим криволинейную элементарную площадку d . На нее будет действовать сила полного гидростатического давления dP с проекциями dP_x, dP_y, dP_z. Тогда из уравнения (1) имеем:

где - проекция площадки – на плоскость, перпендикулярную оси ОХ.

- перпендикулярную OY

- перпендикулярную OZ

Для проекции dP_z на плоскость, перпендикулярную оси OZ, выражение

Можно проинтегрировать и записать в виде:

, где W_ТД – объем жидкости, который

называется телом давления.

Тело давления – это объем жидкости, образованный рассматриваемой площадкой, отмеренный по нижний образующей криволинейной поверхности, а также ограниченный вертикальной поверхностью, установленной от границ этой криволинейной поверхности к свободной поверхности жидкости или ее продолжением. Если тело давления находится со смачиваемой стороны поверхности, оно считается отрицательным (перед формулой ставится минус), а если с несмачиваемой стороны -то позитивным (со знаком плюс).

Рис. 11. Пример определения „тела давления”.

Для результирующей силы полного гидростатического давления на криволинейную поверхность получим выражения:

Для результирующей избыточного гидростатического давления на криволинейную поверхность имеем аналогичные выражения:

Направление вектору силы полного или избыточного гидростатического давления определяется углом 

или

Закон Архимеда.

На тело, погруженное в жидкость, действует сила гидростатического давления, или подъемная сила, которая равняется по величине веса жидкости, вытесненной телом. Она направлена вертикально вверх и проходит сквозь центр тяжести вытесненной жидкости. И называется Силой Архимеда.

На поверхность АВС действует сила

Рис.12. Закон Архимеда с точки зрения определения гидростатического давления на криволинейные поверхности.

На поверхность АDС действует сила -

Результирующая сила: сила Архимеда:

Подъемная сила или сила Архимеда прилагаемая в центре погруженной части тела, который называется центром водоимещения. Тело плавает, если вес его не превышает подъемную силу, которая действует со стороны жидкости.

Эпюры полного и избыточного гидростатических давлений.

2. На вертикальную стенку:

Рис. 13. Эпюры гидростатического давления на плоские вертикальные поверхности.

- полное гидростатичесое давление

- сила избыточного давления

- расстояние от свободной поверхности жидкости

до центра давления.

b) На наклонную стенку

- сила избыточного давления

Рис. 14. Эпюры гидростатического давления на наклоненные поверхности.

Лекция 3

Гидродинамика. Основные понятия и термины. Закон постоянства потока.

Гидродинамика рассматривает основные законы движения жидкостей. Параметры, которые характеризуют движение - скорость и давление, изменяются в потоке и во времени. Основная задача гидродинамики заключается в нахождении функции вида:

Здесь U и P – скорость и давление в рассматриваемой точке;

X,Y, Z – координаты точки в пространстве;

– время.

Установившееся движение – когда скорость и давление в любой точке потока не изменяются со временем, а зависят только от координат точки:

Пример установившегося движения – истечение воды из отверстия при постоянном напоре, течение в трубе при постоянной подаче воды насосом. Пример неустановившегося движения – истечение воды из резервуара при непостоянном напоре, когда в резервуар не подается восполняющий расход.

Линия тока – кривая, у которой во всех точках векторы скоростей будут касательны к ней.

Элементарная струйка – это масса жидкости, которая двигается внутри бесконечно малого сечения жидкости, ограниченного линиями тока.

Поток – совокупность элементарных струек, которые представляют собой массу частиц, движущихся в каком-либо направлении. Поток может быть ограничен твердыми стенками (в трубе) или быть свободным (струя).

Живое сечение потока - - это поперечное сечение потока, перпендикулярное к направлению потока.

Расход потока - Q - объем жидкости, проходящий сквозь живое сечение потока в единицу времени:

Здесь W - объем жидкости, [м³]

- время в секундах [в СИ]

Расход жидкости в системе СИ измеряют в м³/с.

Смоченный периметр – часть периметру живого сечения, по которому жидкость прикасается к твердым стенкам.

Гидравлический радиус - R_г - отношение плошади живого сечения к смоченному периметру.

Для круглого сечения радиуса r:

Поэтому гидравлический радиус трубы не является равным ее геометрическому радиусу. Гидравлический радиус есть, например, у канала параболического сечения.

Средняя скорость потока - - частное от деления расхода потока Q на площадь живого сечения :

Это та скорость, которую имели бы все частицы потока, чтобы сквозь его живое сечение проходил расход Q.

Местная скорость – или скорость в точке – U – скорость частицы. Местные скорости изменяются по живому сечению потока от нулевого значения вдоль стенок к максимальному – в центре сечения (в трубе), или на свободной поверхности жидкости (в канале). Характер распределения их сечению, в общем случае, параболический.

Для трубы Для канала

Рис. 15. Эпюры местных (u ) и средних (v ) скоростей для трубы (налево) и канала.

Равномерным называется такое установившееся движение, при котором живое перерез и средняя скорость жидкости не изменяются по длине (в трубе при постоянном напоре). Линии тока при равномерном движении являются параллельными. Такое движение еще называется паралельноструйным.

Неравномерным движением называется такое установившееся движение, когда нарушена его равномерность (движение в реке, в общем случае). Гидродинамика как наука рассматривает движение как плавноизменяющееся и установившееся (движение в естественных руслах), при этом предусматривается), что кривизна линий тока незначительна, угол их расхождения очень малый, живые сечения потока являются плоскими, давление в живом сечении распределяется по гидростатическому закону, то есть по закону прямой линии. Силы инерции в общее математическое уравнение не входят, потому что они перпендикулярные к плоскостям живых сечений. В это уравнение входит только сила гидростатического давления.

Напорным называется поток жидкости, в которого по всему периметру живого перерезу жидкость прикасается к твердым стенкам (пример: движение в водопроводной трубе).

Безнапорный поток – это поток с наличием свободной поверхности подвижной жидкости (пример: движение в канализационной трубе при неполном заполнении, движение в канале).

Закон постоянства расхода и неразрывности потока.

Рассмотрим установившееся движение в жестком русле изменчивого сечения. Выберем пару произвольных живых сечений 1-1 и 2-2, которые нормальны к оси потока и рассмотрим участок потока между этими сечениями.

Здесь m₁ и m₂ – массы жидкости в сечениях 1-1 и 2-2.

- плотности жидкости;

Q₁ и Q₂ - расходы в этих сечениях.

= , потому что жидкость однородна и несжимаема.

m₁=m₂, потому что стенки русла жестки и соблюдается закон сохранения массы вещества.

= , потому что процесс рассматривается в единый момент времени.

Рис. 16. Закон неразрывности (или постоянства) расхода потока.

Поэтому:

(1)

При установившемся движении несжимаемой жидкости ее расход в любом живом сечении – постоянный - закон постоянства расхода.

Выразим в уравнении (1) установившегося потока расход как произведение скорости на площадь живого сечения, получим:

Для какого-либо живого сечения установившегося потока произведение скорости на площадь живого сечения – величина постоянная – закон неразрывности потока.

В дифференциальной форме этот закон выражается уравнением:

Здесь U_x, U_y, U_z – местные скорости частиц относительно осей X, Y, Z.

X, Y, Z – координаты частиц.

Законы постоянства расхода и неразрывности потока справедливы и для газов, если не учитывать их сжимаемость.

Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости и элементарной струйки. Пьезомерический и гидравлический уклоны. Водомер Вентури.

Р ис. 17. К выводу уравнения Бернулли для потока реальной жидкости.

Рассмотрим поток реальной жидкости с плавноизменяющимся движением.

Выберем два произвольных сечения 1-1 и 2-2, которые нормальны к оси потока, и рассмотрим участок потока, заключенный между ними. Обозначим скорости в этих сечениях V₁ и V₂; площади живых сечений ω₁ и ω₂ ; гидравлические давления в центрах тяжести этих сечений р₁ и р₂; расстояния до плоскости сравнения О-О − Z₁ и Z₂.

Применим к участку потока, замкнутому между сечениями 1-1 и 2-2, закон сохранения енергии. За время частицы жидкости перейдут из положения 1-1 в положение , а из положения 2-2 – в положение . При этом будут пройдены пути V₁ * и V₂* .

Сквозь сечение 1-1 за время пройдет объем жидкости Q_1* , а это же время сквозь сечение 2-2 пройдет объем жидкости Q₂* . Найдем количество энергии, внесенной потоком в рассматриваемый участок, за время через сечение 1-1.

Объем жидкости W₁ обладает массой

Потенциальная энергия этого объема:

А кинетическая энергия этого же объема: : .

Рассматриваемый объем обладает также энергией давления.

Представим, что в сечении 1-1 есть поршень, движущийся со скоростьюV₁ в направлении сечения 2-2. Этот поршень за время пройдет путь . Сила давления на поршень P₁.Тогда работа поршня равна: . Потенциальная энергия объема,:

Тогда общее количество энергии, внесенной потоком в рассматриваемый участок за время сквозь сечение 1-1 будет равняться:

Аналогично, суммарная энергия потока, вынесенная потоком сквозь сечение 2-2 равняется:

По закону сохранения энергии суммарная энергия, внесенная сквозь сечение 1-1 при установившемся движении, должна равняться суммарной энергии, вынесенной сквозь сечение 2-2 с учетом затрат энергии на преодоление гидравлических сопротивлений на рассматриваемом участке.

Затраченную энергию на преодоление сопротивлений можно передать в виде произведения веса рассматриваемого объема на некоторую высоту h_{пот 1-2} – в виде потенциальной энергии потерь высоты или напора:

тогда

Согласно с уравнением постоянства расходов Q₁=Q₂=const. для несжимаемой однородной жидкости.

Поэтому можно приравнять оба уравнения для сечений 1-1 и 2-2:

Отнесем оба уравнения к весу жидкости и получим:

Это выражение является уравнением БернулЛи для потока реальной жидкости.

Здесь Z – расстояние центра тяжести рассматриваемого сечения до плоскости сравнения; Р – давление в центре тяжести сечения; V – средняя скорость в сечении; h_пот – удельная энергия, затраченная на преодоление сопротивлений от начального сечения до рассматриваемого.

Если учитывать неравномерность распределения скоростей по живому сечению потока, то уравнение Бернулли получает конечный обобщенный вид:

(1)

Здесь a - коэффициент Кориолиса, учитывающий влияние неравномерности распределения скоростей по сечению на удельную кинетическую энергию потока. Коефициент a изменяется в пределах 1-2, причем его приблизительное значение можно брать равным 1.

Сумма двух первых слагаемых уравнения является пьезометрическим напором (сравним с основным уравнением гидростатики);

- скоростной или динамический напор;

h_пот – утраченный или потерянный напор;

H – полный гидродинамический напор.

Геометрическое содержание уравнения Бернули.

Все слагаемые уравнения (1) выражаются в единицах длины.

Z – геометрическая высота или высота положения;

или - пьезометрическая высота;

- или высота гидродинамического давления;

h_пот - высота потерь напора или потери напора.

При установившемся движении жидкости сумма 4-х высот (высоты положения, пьезометрической высоты, высоты гидродинамического или скоростного напора и высоты потерь напора) остается неизменной вдоль потока.

Энергетическое содержание уравнения Бернулли.

Все четыре слагаемого уравнения (1) являются удельными энергиями (отнесенными к весу жидкости) потока.

При установившемся движении жидкости сумма 4-х удельных энергий (энергии положения, энергии гидродинамического давления, кинетической энергии и потерянной энергии) остается неизменной вдоль потока.

Полная энергия (в виде напора) в потоке измеряется трубкой Питто (динамической трубкой), которая имеет форму перевернутой буквы Г, направленной навстречу потоку. Пьезометрический напор измеряется пьезометрической трубкой (с гладким концом).

ГИДРАВЛИЧЕСКИЙ И ПЬЕЗОМЕТРИЧЕСКИЙ УКЛОНЫ

Рис. 18. Распределение напоров в потоке при определении гидравлического и пьезометрического уклонов.

Соединив уровни жидкости в пьезометрических трубках, получим линию пьезометрического напора или линию удельной потенциальной энергии . Падение пьезометрического напора на единицу длины L называется пьезометрическим уклоном :

Пьезометрический уклон может быть как положительным, так и отрицательным.

Падение линии полного напора на единицу длины называется гидравлическим уклоном i:

Гидравлический уклон, согласно закона сохранения энергии, может быть исключительно положительным в направлении потока.

Уравнение Бернулли для элементарной струйки реальной жидкости для какой-либо точки, где жидкость движтся с местной скоростью

Уравнение Бернулли для идеальной жидкости будет отличаться от выражений (1) и (2) отсутствием слагаемого, соответствующему удельной энергии потерь напора (то есть без h_пот).

Уравнение Бернулли справедливо для идеального и реального газа, Приводится в форме давлений. Для струйки идеального газа:

Для потока реального условно несжатого газа в расчетах часто не учитывают разность высотных отметок Z₁ и Z₂, а также пренебрегают скоростными давлениями, ничтожно малыми, по сравнению с потенциальными. В итоге выходит расчетная формула для определения потерь давления газа Р_пот при следовании по трубопроводу:

Здесь Р₀- начальное давление в трубопроводе, Р – конечное давление в пункте приема газа.

Измерения давления газа производят с помощью манометров, Для сжатого газа уравнения Бернулли изучается в курсе аэродинамики.

Водомер Вентури.

Водомер Вентури используют для измерення расходов жидкости по показанием пьезометрических трубок. Разница их пьезометрических напоров зависит от величины расхода.

Составим уравнение Бернулли для сечений 1-1 и 2-2 без учета потерь напора.

Рис. 19. К принципу действия водомера Вентури.

и пусть Z₁=Z_2, =1

Выразим скорости через отношение площадей сечений с учетом закона неразрывности потока:

Q₁=Q₂

V₁* ω ₁=V₂*ω₂

Здесь К– тарировочний коэффициент, необходимый для построения тарировочной кривой для каждого конкретного водомера. По этой кривой потом определяется расход Q по измеренной величине перепада отметок h в пьезометрических трубках.

На базе уравнения Бернулли работают такие устройства, как водоструйный насос (эжектор) и инжекционная газовая горелка.

Лекция 4.

Гидравлические сопротивления. Два режима движения жидкости. Определение потери напора по длине.

Для идеальной жидкости все задачи решаются системой двух уравнений.

Для реальной жидкости, которая имеет свойство вязкости, в систему добавляется 3-есть уравнение, и система обретает вид:

С помощью этой системы решаются все гидродинамические инженерные задачи. Аналогично – аэродинамические.

Существуют две группы потерь напора:

Первая – на трение или по длине.

Вторая – на местные сопротивления – при протекании жидкости через какого-нибудь рода препятствия (колена, отводы, тройники, задвижки и тому подобное).

Оба вида потерь напора могут быть найдены опытным путем – это подходит для существующих водоводов и других систем коммуникаций. Например, на существующем водоводе потери напора на участке 1-2.

Составим уравнение Бернулли для потока реальной жидкости для сечений 1-1 и 2-2.

, где d=const

V=const, = const

Рис.21. Определение потерь на местных сопротивлениях опытным путем.

Таким же образом пьезометры устанавливаются до и после местного сопротивления и определяют потери напора h_m на местном сопротивлении.

Рис.21. Определение потерь на местных сопротивлениях опытным методом.

при =1

Потеря напора жидкости при ее движении состоит из суммы потерь на трение и на местные сопротивления:

Путем расчета, для проектирования, потери напора на гидравлическое трение определяются, в общем случае по формуле Дарси-Вейсбаха:

(1)

Здесь - коэффициент гидравлического трения, безразмерная величина (коефициен Дарси).

l - длина трубопровода, м.

d - диаметр трубопровода, мм.

- средняя скорость потока, м/с, на участке.

Местные потери напора определяются по формуле Вейсбаха:

Здесь - коэффициент местного сопротивления, безразмерная величина, которая зависит от вида местного сопротивления.

- средняя скорость на участке за местным сопротивлением, м/с.

Коэффициенты и зависят от многих факторов, главным из которых является режим движения жидкости и шероховатость стенок трубопровода.

Два режима движения жидкости.

В 1883 году английский ученый Рельнольдс доказал наличие 2-х режимов движения частиц жидкости. Сквозь стеклянную трубку пропускали воду со средней скоростью V.

1 – бак постоянного напора.

2 – бачок с окрашенной жидкостью.

3 – стеклянная трубка.

4 – перливная трубка.

5 – регулирующие вентили.

6 – тонкая трубочка с заостренным струенаправляющим концом.

Рис. 22. Опыт Рейнольдса по определениию двух режимов движения

жидкости.

При малых скоростях V движения воды линия окрашенной жидкости не перемешивается с остальной водой в трубке 3. При некоторой критической скорости V_кр струйка окрашенной жидкости размывалась в контуре и перемешивалась с остальной водой. То есть, можно сказать, что движение частиц жидкости в первом случае имело параллельноструйный характер, а во втором случае – хаотический.

Первый режим движения жидкости называется ламинарным (параллельноструйним), а второй – турбулентным (беспорядочным).

Опыты показали, что вид режима зависит от безразмерного параметра − критерия Рейнольдса Re, либо числа Рейнольдса.

Здесь V - средняя скорость потока в трубе, м/с;

d - диаметр трубы, м;

- кинематическая вязкость, м²/с.

Число Рейнольдса, при котором движение ламинарное переходит к турбулентному, называется критическим.

При этом соответствующая скорость называется критической:

Практически, число находится в пределах 1000-4000.

Для открытых русел (безнапорное движение):

Здесь R_г - гидравлический радиус, м. Практически это число равняется 300-500.

Распределение скоростей и потерь напора при ламинарном режиме движения жидкости в трубах.

При ламинарином движении потока слои жидкости двигаются параллельно друг к другу. Эпюра скоростей по сечению трубы имеет характер очень витянутой параболы с вершиной на оси трубы. Значение максимальной скорости на оси трубы V_мах:

Здесь - удельный вес жидкости;

d - диаметр трубы;

- динамическая вязкость;

i - гидравлический уклон.

Распределение местных скоростей по сечению подчиняется закону параболы:

i - гидравлический уклон;

r - радиус трубы;

У - расстояние до оси трубы от избранной точки сечения по вертикали.

Средняя скорость при движении в ламинарном режиме равняется половине максимальной:

Коэффициент Кориолиса при ламинарном движении равняется 2.

Потери напора при ламинарном движении определяется по формуле Пуазейля и пропорциональные скорости в первой степени.

Как видим, шероховатость стенок не является значимым фактором при нахождении коэффициента гидравлического трения и потерь напора по длине.

Распределение скоростей и определение потерь напора при турбулентном режиме движения жидкости в трубах.

При турбулентном режиме скорость движения в каждой точке изменяется по величине и направлению, то есть происходит пульсация скорости вокруг некоторого среднего значения, которое називается осредненной местной скоростью.

Осредненная скорость условно считается постоянной в рассматриваемой точке и направленной параллельно оси потока. Это движение по осередненим скоростям может считаться паралельноструйным и к нему можно применить уравнение Бернулли. Осередненная скорость потока, и дальше в теме будет считаться местной скоростью в данной точке.

Все модели распределения скоростей потока по сечению имеют полуэмпирический характер (полуопытный). Выявлено, что распределение скоростей по сечению также, как и при ламинарном движении, имеет характер параболы, но эта парабола значительно меньше вытянута вдоль оси движения. Закон распределения скоростей учитывает касательные напряжения вдоль стенок:

- динамическая скорость или скорость касательного напряжения, м/с.

х - универсальная постоянная Прадтнля, которая равняется приблизительно 0,4.

- коэффициент Дарси.

Соотношение средней и максимальной скоростей равняется 0,7 0,9.

Коэффициент Кориолиса =1,031,2. Это свидетельствует о более равномерном распределении скоростей по сечению трубы в результате их пульсации.

Рис. 23. Распределение скоростей в трубе в двух режимах движения жидкости.

Немецкий ученый Прандтль создал полуэмпирическую теорию турбулентности. Согласно ей, в трубе поток распределяется на турбулентное ядро и тонкий ламинарный слой по периметру стенки с выступами шероховатости К_э (или Δ_э) .

Исследования ученых Никурадзе и Мурина позволили получить полуэмпирические формулы и графики для определения коэффициента  и потерь напора по формуле (1) при турбулентном режиме движения жидкости в трубах. Это есть основной расчетный режим при проектировании.

График Мурина.

Это графическая зависимость зависимость, для труб промышленного диаметра с искусственно созданной эквивалентной шероховатостью:

- относительная эквивалентная шероховатость трубы.

К_Э – эквивалентная шероховатость, то есть образованная искусственно при которой достигается такое гидравлическое сопротивление по длине, как с естественной шероховатостью для того же диаметра и материала. Она равняется высоте треугольника, которая равна диаметру фракций искусственных песчинок, которые наносятся на стенки опытных образцов.

Рис.24. К понятию «Эквивалентной шероховатости».

Рис.25. График Мурина

Рис. 25а. График Никурадзе.

Наблюдаем наличие трех областей:

1или(а) – Гидравлически гладких труб (малые числа Рейнольдса Re при малых скоростях движения). В этой области соотношения между Rе и :

Большая толщина ламинарного слоя превышает высоту выступов шероховатости. Он бы, блоирует их, поэтому шероховатость трубы не влияет в значительной степени на коэффициент гидравлического трения:

В этой области =f(Rе), поэтому потери напора пропорциональны скорости в степени 1,75, поэтому они зависят от скорости нелинейно.

3 или (в) – область шероховатых труб или квадартичная область сопротивления.

В этой области толщина ламинарного слоя мала, по сравнению с высотой выступов шероховатости К_э, поэтому шероховатость трубы оказывает сильное влияние на величину :

Это происходит, когда Rе500d/ К_э.

Выступы шероховатости здесь выше, чем толщина вязкого ламинарного слоя и стенки не блокируется им. В этой области потери напора оказываются пропорциональными квадрату скорости:

Поэтому эта область называется квадратичной областью потерь напора.

Рис. 26. Турбулетный режим движения потока.

2 или (б) – переходная область. В этой области гидравлическогурбулентный режимо сопротивления на коефициент  имеет влияние число Rе,

также влияет , поскольку толщина ламинарного слоя соизмерима с высотой выступов шероховатости.

 определяется по формуле Альтшуля:

Это происходит, если .

В этой области потери напора зависят от скорости в степени от 1,75

Кроме указанных зависимостей, в справочниках по гидравлике приведенные формулы Кольбрука, Прандтля, Блазиуса, Шевелева и других авторов для различных соотношений Rе и К_э/d_.

Ученый-инженер Ф.А. Шевелев разработал «Таблицы для гидравлического расчета стальных, чугунных, пластмассовых, бетонных, железобетонных и стеклянных труб» промышленного образца. Эти таблицы используют в настоящее временя при проектировании промышленных трубопроводов.

Те же авторы разработали опытные формулы для аэродинамики. Коефициент  для газов определяется для расчетов промышленных газопроводов и воздухопроводов, с учетом сжатия газа и без него.

Лекция 4.

Гидравлические сопротивления. Два режима движения жидкости. Определение потери напора по длине.

Для идеальной жидкости все задачи решаются системой двух уравнений.

Для реальной жидкости, которая имеет свойство вязкости, в систему добавляется 3-есть уравнение, и система обретает вид:

С помощью этой системы решаются все гидродинамические инженерные задачи. Аналогично – аэродинамические.

Существуют две группы потерь напора:

Первая – на трение или по длине.

Вторая – на местные сопротивления – при протекании жидкости через какого-нибудь рода препятствия (колена, отводы, тройники, задвижки и тому подобное).

Оба вида потерь напора могут быть найдены опытным путем – это подходит для существующих водоводов и других систем коммуникаций. Например, на существующем водоводе потери напора на участке 1-2.

Составим уравнение Бернулли для потока реальной жидкости для сечений 1-1 и 2-2.

, где d=const

V=const, = const

Рис.21. Определение потерь на местных сопротивлениях опытным путем.

Таким же образом пьезометры устанавливаются до и после местного сопротивления и определяют потери напора h_m на местном сопротивлении.

Рис.21. Определение потерь на местных сопротивлениях опытным методом.

при =1

Потеря напора жидкости при ее движении состоит из суммы потерь на трение и на местные сопротивления:

Путем расчета, для проектирования, потери напора на гидравлическое трение определяются, в общем случае по формуле Дарси-Вейсбаха:

(1)

Здесь - коэффициент гидравлического трения, безразмерная величина (коефициен Дарси).

l - длина трубопровода, м.

d - диаметр трубопровода, мм.

- средняя скорость потока, м/с, на участке.

Местные потери напора определяются по формуле Вейсбаха:

Здесь - коэффициент местного сопротивления, безразмерная величина, которая зависит от вида местного сопротивления.

- средняя скорость на участке за местным сопротивлением, м/с.

Коэффициенты и зависят от многих факторов, главным из которых является режим движения жидкости и шероховатость стенок трубопровода.

Два режима движения жидкости.

В 1883 году английский ученый Рельнольдс доказал наличие 2-х режимов движения частиц жидкости. Сквозь стеклянную трубку пропускали воду со средней скоростью V.

1 – бак постоянного напора.

2 – бачок с окрашенной жидкостью.

3 – стеклянная трубка.

4 – перливная трубка.

5 – регулирующие вентили.

6 – тонкая трубочка с заостренным струенаправляющим концом.

Рис. 22. Опыт Рейнольдса по определениию двух режимов движения

жидкости.

При малых скоростях V движения воды линия окрашенной жидкости не перемешивается с остальной водой в трубке 3. При некоторой критической скорости V_кр струйка окрашенной жидкости размывалась в контуре и перемешивалась с остальной водой. То есть, можно сказать, что движение частиц жидкости в первом случае имело параллельноструйный характер, а во втором случае – хаотический.

Первый режим движения жидкости называется ламинарным (параллельноструйним), а второй – турбулентным (беспорядочным).

Опыты показали, что вид режима зависит от безразмерного параметра − критерия Рейнольдса Re, либо числа Рейнольдса.

Здесь V - средняя скорость потока в трубе, м/с;

d - диаметр трубы, м;

- кинематическая вязкость, м²/с.

Число Рейнольдса, при котором движение ламинарное переходит к турбулентному, называется критическим.

При этом соответствующая скорость называется критической:

Практически, число находится в пределах 1000-4000.

Для открытых русел (безнапорное движение):

Здесь R_г - гидравлический радиус, м. Практически это число равняется 300-500.

Распределение скоростей и потерь напора при ламинарном режиме движения жидкости в трубах.

При ламинарином движении потока слои жидкости двигаются параллельно друг к другу. Эпюра скоростей по сечению трубы имеет характер очень витянутой параболы с вершиной на оси трубы. Значение максимальной скорости на оси трубы V_мах:

Здесь - удельный вес жидкости;

d - диаметр трубы;

- динамическая вязкость;

i - гидравлический уклон.

Распределение местных скоростей по сечению подчиняется закону параболы:

i - гидравлический уклон;

r - радиус трубы;

У - расстояние до оси трубы от избранной точки сечения по вертикали.

Средняя скорость при движении в ламинарном режиме равняется половине максимальной:

Коэффициент Кориолиса при ламинарном движении равняется 2.

Потери напора при ламинарном движении определяется по формуле Пуазейля и пропорциональные скорости в первой степени.

Как видим, шероховатость стенок не является значимым фактором при нахождении коэффициента гидравлического трения и потерь напора по длине.

Распределение скоростей и определение потерь напора при турбулентном режиме движения жидкости в трубах.

При турбулентном режиме скорость движения в каждой точке изменяется по величине и направлению, то есть происходит пульсация скорости вокруг некоторого среднего значения, которое називается осредненной местной скоростью.

Осредненная скорость условно считается постоянной в рассматриваемой точке и направленной параллельно оси потока. Это движение по осередненим скоростям может считаться паралельноструйным и к нему можно применить уравнение Бернулли. Осередненная скорость потока, и дальше в теме будет считаться местной скоростью в данной точке.

Все модели распределения скоростей потока по сечению имеют полуэмпирический характер (полуопытный). Выявлено, что распределение скоростей по сечению также, как и при ламинарном движении, имеет характер параболы, но эта парабола значительно меньше вытянута вдоль оси движения. Закон распределения скоростей учитывает касательные напряжения вдоль стенок:

- динамическая скорость или скорость касательного напряжения, м/с.

х - универсальная постоянная Прадтнля, которая равняется приблизительно 0,4.

- коэффициент Дарси.

Соотношение средней и максимальной скоростей равняется 0,7 ¸0,9.

Коэффициент Кориолиса a=1,03¸1,2. Это свидетельствует о более равномерном распределении скоростей по сечению трубы в результате их пульсации.

Рис. 23. Распределение скоростей в трубе в двух режимах движения жидкости.

Немецкий ученый Прандтль создал полуэмпирическую теорию турбулентности. Согласно ей, в трубе поток распределяется на турбулентное ядро и тонкий ламинарный слой по периметру стенки с выступами шероховатости К_э (или Δ_э) .

Исследования ученых Никурадзе и Мурина позволили получить полуэмпирические формулы и графики для определения коэффициента l и потерь напора по формуле (1) при турбулентном режиме движения жидкости в трубах. Это есть основной расчетный режим при проектировании.

График Мурина.

Это графическая зависимость зависимость, для труб промышленного диаметра с искусственно созданной эквивалентной шероховатостью:

- относительная эквивалентная шероховатость трубы.

К_Э – эквивалентная шероховатость, то есть образованная искусственно при которой достигается такое гидравлическое сопротивление по длине, как с естественной шероховатостью для того же диаметра и материала. Она равняется высоте треугольника, которая равна диаметру фракций искусственных песчинок, которые наносятся на стенки опытных образцов.

Рис.24. К понятию «Эквивалентной шероховатости».

Рис.25. График Мурина

Рис. 25а. График Никурадзе.

Наблюдаем наличие трех областей:

1или(а) – Гидравлически гладких труб (малые числа Рейнольдса Re при малых скоростях движения). В этой области соотношения между Rе и :

Большая толщина ламинарного слоя превышает высоту выступов шероховатости. Он бы, блоирует их, поэтому шероховатость трубы не влияет в значительной степени на коэффициент гидравлического трения:

В этой области l=f(Rе), поэтому потери напора пропорциональны скорости в степени 1,75, поэтому они зависят от скорости нелинейно.

3 или (в) – область шероховатых труб или квадартичная область сопротивления.

В этой области толщина ламинарного слоя мала, по сравнению с высотой выступов шероховатости К_э, поэтому шероховатость трубы оказывает сильное влияние на величину l:

Это происходит, когда Rе>500d/ К_э.

Выступы шероховатости здесь выше, чем толщина вязкого ламинарного слоя и стенки не блокируется им. В этой области потери напора оказываются пропорциональными квадрату скорости:

Поэтому эта область называется квадратичной областью потерь напора.

Рис. 26. Турбулетный режим движения потока.

2 или (б) – переходная область. В этой области гидравлическогурбулентный режимо сопротивления на коефициент l имеет влияние число Rе,

также влияет , поскольку толщина ламинарного слоя соизмерима с высотой выступов шероховатости.

l определяется по формуле Альтшуля:

Это происходит, если .

В этой области потери напора зависят от скорости в степени от 1,75

Кроме указанных зависимостей, в справочниках по гидравлике приведенные формулы Кольбрука, Прандтля, Блазиуса, Шевелева и других авторов для различных соотношений Rе и К_э/d_.

Ученый-инженер Ф.А. Шевелев разработал «Таблицы для гидравлического расчета стальных, чугунных, пластмассовых, бетонных, железобетонных и стеклянных труб» промышленного образца. Эти таблицы используют в настоящее временя при проектировании промышленных трубопроводов.

Те же авторы разработали опытные формулы для аэродинамики. Коефициент l для газов определяется для расчетов промышленных газопроводов и воздухопроводов, с учетом сжатия газа и без него.

Лекция 5.

Местные гидравлические сопротивления.

Местные сопротивления – это сопротивления препятствий, обтекаемых жидкостью. При наличии таких препятствий происходит отрыв потока и образование вихревых зон. На деформацию линий тока в этих зонах теряется часть энергии потока.

Потери напора на местных сопротивлениях подразделяются:

6. Потери, связанные с изменениями сечения трубопровода (внезапное или медленное сужение или расширение);

7. Потери, связанные с изменением направления движения потока (угольники, отводы);

8. Потери, связанные с протеканием жидкости сквозь арматуру (вентили, задвижки, диафрагмы, обратные клапаны и тому подобное);

9. Потери, связанные с разделением или слиянием потока (тройники, крестовины);

10. Потери на сварных стыках трубопроводов.

Все местные сопротивления могут быть определены опытным путем как разность показаний пьезометров или манометров (смотри лекцию 4).

Путем расчета все местные сопротивления определяются по формуле Вейсбаха:

Вообще, задача заключается в том, чтобы определить коэффициент местного сопротивления . Большинство коэффициентов определяется по эмпирическим формулам. Небольшая группа коэффициентов определяется теоретически на основании теоремы Борда-Карно.

Потери напора при внезапном расширении трубопровода (теорема Борда-Карно).

Потери напора при внезапном или резком расширении потока равняются скоростному напору потерянной скорости

Рис. 27. Потери напора на «классическом» гидравлическом сопротивлении – «внезапном расширении трубопровода»

Применим «Теорему импульсов» классической механики к участку жидкости между сечениями 1-1 и 2-2.

Проекция на произвольно взятую координатную (ось трубопровода) приращения количества движения равняется сумме импульсов внешних сил, действующих на рассматриваемый участок, за определенное время (пусть время τ=1с):

Из внешних сил в уравнение включаем только силу гидродинамического давления Р, потому что силу трения на малом участке не учитываем.

- сумма сил в направлении движения потока – сумма сил давления.

Разделим это последнее уравнение на и примем =1

*

Составим уравнение Бернулли для сечений 1-1 и 2-2 и

Подставим из уравнения  его часть: :

Потери напора в диффузорах (трубках, которые медленно расширяются).

Диффузор характеризуется углом раскрытия или конусностью.

Рис. 28. Потери напора на плавном расширении потока (диффузоре)

Здесь hдиф - потери напора в диффузоре;

- коэффициент местного гидравлического сопротивления диффузора;

hрр - потери напора на внезапном расширении потока;

k- коэффициент смягчения (уменьшения значения).

Потери напора в диффузоре будут меньшими, чем при внезапном расширении потока, поскольку вихревые области медленно сглаживаются.

Потери напора в диффузоре определяются как для внезапного расширения, но с умножением на коэффициент смягчения k 1, который зависит от угла конусности .

Значения коэффициентов приведены в справочниках по гидравлике.

- максимальное снижение .

Рис. 29. Область оптимального значения коэффициента смягчения k

Потери напора при внезапном или резком сужении потока.

Рис. 30. Определение потерь напора на «внезапном сужении» потока.

Частицы жидкости, которые входят в узкое сечение, стремятся сберечь свою траекторию по инерции и формируют так называемое сжатое сечение ₋ ω_с.

Потери напора возникают при расширении сечения от ω_с до ω₂:

Здесь - степень сжатия струи, или коэффициент сжатия.

- сжатое сечение измерить очень сложно, поэтому в расчетах используют эмпирическое (опытно найденное) значение , указанное в справочниках.

При _1>> =0.611 (истечение из резервуара) =0,42

Потери напора в медленно суживающихсяся трубах (конфузорах).

Рис. 31. Потери напора на медленном сужении потока (конфузоре)

Потери напора определяются также, как для внезапного сужения, но с умножением на коэффициент смягчения, который меньше единицы. В соответствии углу конусности α₁ для k₁1справочниках приводится графическая или табличная зависимость.

Рис. 32. Область оптимального значения коэффициента смягчения k₁

Значения для конфузоров приведены в справочниках, в зависимости от соотношения большего и меньшего сечений .

Потери напора в отводах, коленах, угольниках.

Колена образуют тем большие гидравлические сопротивления, чем более резок их поворот, то есть чем меньший их радиус закругления R. Колено считаетсяется острым, если r=R. Для такого колена =1. Для более закругленных колен и отводов в справочниках приведены значения .

Рис. 33. Потери напора в коленах, отводах, угольниках.

, где в зависимости от соотношения .

Потери напора в диафрагмах.

Диафрагма – это искусственное образованное внезапное сужение потока в трубопроводах. Она существует для гашения напора или для измерения расхода (измерительная диафрагма). В последнем случае учитывается связь потерь напора с величиной скорости и расхода в трубопроводе.

Рис. 34. Потери напора в диафрагмах.

,

где

Значение и приведены в справочниках.

Потери напора в тройниках и крестовинах(крестах)

Существуют две группы тройников – нагнетающие (1) и всасывающие(2) или приливные и втяжные.

Рис. 35. Схемы к определению коэффициентов местных сопротивлений для тройников.

В тройниках отличают магистраль и ответвление.

Поворот потока в них может происходить только на угол 90.

Потери напора зависят от схемы работы тройника в потоке, от угла между магистральными направлением и ответвлением , от соотношения их диаметров. и h_m зависят, к какой скорости их отнести: к магистральной или на ответвлении, до или после ответвления. Все возможные схемы приведены в справочниках.

Потери напора на задвижках и вентилях.

Потери напора на задвижках и вентилях возникают в результате уменьшения сечения трубопровода. Как для внезапного сужения потока.

Рис. 36. Потери напора в задвижках и вентилях.

Значения приведены в справочниках, в зависимости от степени открытия задвижки или вентиля. Но полностью открытая арматура образует сопротивление своим клапаном. Для полностью открытой задвижки рекомендуется брать = 0,1-0,2, а для полностью открытого вентиля =5-10.

Потери напора на сварных стыках.

Опыты показали, что влияние стыков можно рассматривать как увеличение коэффициента гидравлического трения .

Рис. 37. Влияние стыков труб на увеличение гидравлического

трения.

- индивидуальное сопротивление стыка (по справочнику).

 - коэффициент Дарси без стыков.

’- то же со стыками.

Зависимость коэффициентов местных сопротивлений от числа Рейнольдса.

Рис. 38. Определение коэффициентов местных гидравлических сопротивлений в не квадратичной области турбулентного режима.

Для больших чисел Рейнольдса, соответствующих квадратичной области гидравлического сопротивления, зависимость =f(Rе) исчезает. При малых числах Rе – зависит значительно. Значения в справочниках вычислены для квадратичной области сопротивления. Для перехода в другие области (гидравлически гладких труб, переходную) есть формула:

, где

А – экспериментально полученная величина, которая приводится в зависимости от значения Rе_.

Взаимное влияние местных сопротивлений.

При гидравлическом расчете коэффициенты местных сопротивлений можно складывать, когда они находятся на участке на расстоянии одного от одного, более чем расстояние влияния.

Расстояние влияния – это расстояние, на котором эпюра скоростей, деформированная предыдущим местным сопротивлением, возобновляет форму. Расстояние влияния l определяется из соотношения:

- калибр трубы. Для инженерных расчетов допускается =2030.

В ином случае коэффициенты ξ в расчетах также складываются, но сумма умножается на коэффициент запаса >1, который учитывает снижение точности расчетов.

Лекция 6.

Истечение жидкости из отверстий и насадков.