Задача о диете.

Задача о диете возникает при составлении наиболее экономного (т.е. наиболее дешевого) рациона питания животных, удовлетворяющего определенным медицинским требованиям.

Предположим, что в нашем распоряжении имеется n продуктов питания (сено, зерно, комбикорм, соль и т.д.). Обозначим эти продукты через Предположим, что есть стоимость единицы веса (например, стоимость одного килограмма) продукта

Рациональная диета должна доставлять животному определенные компоненты (белки, жиры, углеводы, витамины, микроэлементы и т.д.). Обозначим эти компоненты через = Тогда можно составить таблицу – справочник, указывающую, какое количество каждого компонента имеется в единице веса каждого продукта (табл. 1.1.).

Таблица 1.1.

	F	F	…	F	…	F
N	a	a	…	a	…	a
N	a	a	…	a	…	a
…	…	…	…	…	…	…
	a		…		…	a
…	…	…	…	…	…	…
N	a	a	…	a	…	a

Таким образом, величина есть количество i-го компонента, содержащегося в единице веса j-го продукта. Матрица A= называется матрицей питательности.

Рацион кормления должен указать, какое количество x i-го продукта должно быть скормлено животному за определенный срок (скажем, за месяц). Он означает, что за этот срок животное должно получить единиц первого продукта, единиц второго, единиц n-го продукта.

Что же требуется от рациона? Во-первых, должны быть выполнены определенные медицинские требования, которые заключаются в том, что за указанный срок животное должно получить не менее определенного количества каждого компонента (не менее определенного количества белков, жиров, витаминов и т.д.). Обозначим через b то минимальное количество j-го компонента, которое должно получить животное. Тогда рацион кормления должен удовлетворять ограничениям:

(1.1)

Кроме того, очевидно, что все переменные неотрицательны, т.е.

(1.2)

Пусть стоимость единицы веса i-го продукта равна .Тогда весь наш рацион будет стоить:

(1.3)

Мы, естественно, хотели бы понести минимальные затраты на содержание животных. Поэтому задача приобретает вид: найти рацион минимальной стоимости при выполнении медицинских ограничений (1.1) и естественных ограничений (1.2). Математически это выглядит так:

(1.4)

Обратите внимание на полученный результат. Во-первых, достаточно реальная задача приобрела строгую математическую форму. Во-вторых, целевая функция (стоимость рациона) является линейной функцией переменных В третьих, сами ограничения на значения переменных имеют вид линейных неравенств. Все это и определило название этого класса задач – задачи линейного программирования.

Рассмотрим теперь другую классическую задачу.