Общие правила составления двойственных задач.
При составлении двойственных задач используют следующие правила:
Правило 1. Во всех ограничениях исходной задачи свободные члены должны находится в правой части, а члены с неизвестными – в левой.
Правило 2. Ограничения-неравенства исходной задачи должны быть записаны так, чтобы знаки неравенств у них были направлены в одну сторону.
Правило 3. Если знаки неравенств
в ограничениях исходной задачи «≥», то
целевая функция
должна максимизироваться, а если «≤»,
то минимизироваться.
Правило 4. Каждому ограничению исходной задачи соответствует неизвестное в двойственной задаче; при этом неизвестное, отвечающее ограничению-неравенству, должно удовлетворять условию неотрицательности, а неизвестное, отвечающее ограничению-неравенству, может быть любого знака.
Правило 5. Целевая функция
двойственной задачи имеет вид:
где
-свободный
член целевой функции Z(X)
исходной задачи;
-
свободные члены в ограничениях исходной
задачи, при этом
-свободный
член именно того ограничения, которому
соответствует неизвестная
неизвестные в двойственной задаче.
Правило 6. Целевая функция F(Y)
двойственной задачи должна оптимизироваться
противоположным по сравнению с Z(X)
образом, т.е. если
то
и
если
то
Правило 7. Каждому неизвестному
исходной задачи соответствует ограничение
в двойственной задаче. Совокупность
этих nограничений (вместе
с условиями неотрицательности неизвестных
,
соответствующих ограничениям-неравенствам
исходной задачи) образует систему
ограничений двойственной задачи. Все
ограничения двойственной задачи имеют
вид неравенств, свободные члены которых
находятся в правых частях, а члены с
неизвестными
в левых. Все знаки неравенств имеют вид
«≥», если
и
«≤», если
Коэффициенты, с которыми неизвестные
входят в ограничение, соответствующее
неизвестному
совпадают с коэффициентами при этом
неизвестном
в
ограничениях исходной задачи, а именно:
коэффициент при
совпадает с тем коэффициентом при
,
с которым
входит в ограничение исходной задачи,
соответствующее неизвестному
.
Взаимная симметрия прямой и двойственной задач определяет существование определенного соответствия между их оптимальными решениями, которое устанавливают теоремы двойственности: если прямая и двойственная задачи линейного программирования имеют оптимальные решения, то экстремальные значения их целевых функций равны, т.е. справедливо равенство:
min CX = max YB. (первая теорема двойственности)
Не менее важное соответствие оптимальных решений прямой и двойственных задач устанавливают условия дополняющей нежесткости, которые связывают необходимые и достаточные условия оптимальности допустимых решений X и Y обеих задач со следующими соотношениями:
Y(AX-B)=0 (C-YA)X=0. (вторая теорема двойственности)
Таким образом всегда имеется возможность выбора: решать прямую или двойственную задачу, используя модификацию задачи, для которой легче найти решение.
Пример. Составить задачу, двойственную к данной:
Р е ш е н и е. Используем общие правила составления двойственных задач. Умножим ограничения-неравенства на -1, так как в задаче на минимум они должны иметь вид «≥» (см. правило 3). Исходная задача запишется в виде:
Составим двойственную задачу:
Неизвестная
соответствующая ограничению-неравенству,
может быть любого знака (см. правило 4).