УДК 330.83(07)

ББК У.в 611я73

Б-912

Р е ц е н з е н т ы:

Доктор физико-математических наук, профессор,

зав.кафедрой «Прикладная математика» ТГТУ

Г.М. Куликов

Доктор физико-математических наук, профессор,

зав. кафедрой «Алгебра и геометрия» ТГУ

им. Г.Р. Державина

А.И. Булгаков

Буравлева О.Ю.

Математические методы в коммерческой деятельности: Учеб.-метод. пособие.

Часть 1/о.Ю.Буравлева. Тамбов: Изд-во Тамб.Гос. Техн. Ун-та, 2005. С.

Рассмотрены теоретические и практические вопросы раздела «Математическое и линейное программирование» в курсе «Математика в экономике».

Предназначено студентам специальности 080301 «Коммерция (торговое дело)» в качестве дополнительной литературы для самостоятельной работы при изучении курса «Математика в экономике».

УДК 330.83(07)

ББК У.в 611я73

© Буравлева О.Ю., 2005

© Тамбовский государственный

технический университет (ТГТУ), 2005

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ

1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ И ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ…………………5

2. СИМПЛЕКСНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ…………………………………………………………………..11

2.1 Нахождение начального опорного решения и переход к новому опорному решению………………………………………………………………………………………. 12

2.2 Преобразование целевой функции при переходе от одного опорного решения к другому……………………………………………………………………………………….. 14

2.3 Улучшение опорного решения………………………………………………………. 15

2.4 Алгоритм симплексного метода……………………………………………………... 16

3.МЕТОД ИСКУССТВЕННОГО БАЗИСА…………………………………………….....20

3.1 Особенности алгоритма метода искусственного базиса……………………………..22

4.ТЕОРИЯ ДВОЙСТВЕННОСТИ………………………………………………………….26

4.1 Виды математических моделей двойственных задач………………………………...26

4.2 Общие правила составления двойственных задач……………………………………28

5.ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ КАК ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ ОБЩЕЙ РАСПРЕДЕЛИТЕЛЬНОЙ ЗАДАЧИ………………...31

5.1 Общая характеристика распределительной задачи………………………………….. 31

5.2 Транспортная задача…………………………………………………………………….32

5.3 Транспортная задача с ограничениями на пропускную способность……………….47

5.4 Транспортная задача по критерию времени…………………………………………. 52

ЛИТЕРАТУРА…………………………………………………………………………………55

Введение

Дисциплина «Математика в экономике» является региональной составляющей блока естественнонаучных дисциплин Государственного образовательного стандарта второго поколения подготовки специалистов коммерции по специальности 080301 – Коммерция (торговое дело).

Данное учебно-методическое пособие посвящено разделу «Математического и линейного программирования». В нем рассмотрены теоретические вопросы и на конкретных примерах показаны возможности использования математического и линейного программирования как инструмента для решения задач коммерции.

Пособие будет полезным для студентов при самостоятельной работе над конкретными заданиями по курсу «Математика в экономике».

1. Математическое и линейное программирование.

Математическое программирование – это раздел высшей математики, посвященный решению задач, связанных с нахождением экстремумов функций нескольких переменных при наличии ограничений на переменные. Методами математического программирования решаются задачи о распределении ресурсов, планировании выпуска продукции, ценообразовании, транспортные задачи и т.п.

Построение математической модели экономической задачи включает следующие этапы: 1) выбор переменных задачи; 2) составление системы ограничений; 3) выбор целевой функции.

Переменными задачи называются величины , которые полностью характеризуют экономический процесс. Их обычно записывают в виде вектора A=( ).

Система ограничений включает в себя систему уравнений и неравенств, которым удовлетворяют переменные задачи и которые следуют из ограниченности ресурсов или других экономических или физических условий.

Целевой функцией называют функцию переменных задачи, которая характеризует качество выполнения задачи, и экстремум которой требуется найти.

Общая задача математического программирования формулируется следующим образом: найти экстремум целевой функции

Z (X)= +

Данная запись означает следующее: найти экстремум целевой функции задачи и соответствующие ему переменные при условии, что эти переменные удовлетворяют системе ограничений и условиям неотрицательности.

Допустимым решением (планом) задачи линейного программирования называется любой n-мерный вектор X,удовлетворяющий системе ограничений и условиям неотрицательности.

Множество допустимых решений (планов) задачи образует область допустимых решений (ОДР).

Оптимальным решением (планом) задачи линейного программирования называется такое допустимое решение (план) задачи, при котором целевая функция достигает экстремума.

В общем случае задача линейного программирования записывается так, что ограничениями являются как уравнения, так и неравенства, а переменные могут быть как неотрицательными, так и произвольно изменяющимися. В том случае, когда все ограничения – уравнения, и все переменные удовлетворяют условию неотрицательности, задачу линейного программирования называют канонической. Она может быть представлена в координатной, векторной и матричной формах записи.

Рассмотрим математические модели простейших экономических задач: задача о диете и задача о составлении плана производства.