Реализация плана эксперимента

После построения матрицы планирования приступают непосредственно к эксперименту. Чтобы матрица планирования имела вид, удобный для реализации, в ней представляют натуральные и кодированные значения факторов. Такую матрицу называют рабочей. Поскольку на изменение выходной переменной влияют помехи, план обычно реализуют несколько раз, получая несколько параллельных значений функции отклика.

Так как на систему могут оказывать влияние и другие факторы, не включенные в матрицу, необходимо внести элемент случайности влияния этих факторов на результат эксперимента, для чего устанавливается случайный порядок постановки опытов во времени. Эта процедура называется рандомизацией. Например, при реализации ПФЭ типа 2³ опыты могут производиться в следующем порядке: 5,2,3,7,6,1,8,4.

Проверка воспроизводимости опытов

Воспроизводимость эксперимента обычно проверяется по критерию Кохрена; при этом должно выполняться условие

G_p G_табл.

где G_p и G_табл. – соответственно расчетное и табличное значения критерия Кохрена.

Для определения G_p вычисляют для каждой серии параллельных опытов среднее арифметическое значение функции отклика ( )

, (7.25)

где m – количество параллельных опытов; l=1,2,3…, m.

Критерий Кохрена используется, если выполнено одинаковое число параллельных опытов; в противном случае проверка производится с помощью критерия Гартлетта.

Затем вычисляют оценки дисперсий (построчные дисперсии) для каждой серии параллельных опытов

S²_u= y_ul- )² (7.26)

Значение G_p находят как отношение наибольшей из оценок дисперсий к сумме всех оценок дисперсий:

G_p = max S²_u/ (7.27)

Определение G_табл.. производится при определенных значениях доверительной вероятности Р (в технических расчетах принимается Р=0,95), количества опытов в плане эксперимента N и числа степеней свободы f_u, причем f_u=N-1.

Если условие (7.25) не выполняется, воспроизводимость достигается устранением источников нестабильности эксперимента, в том числе использованием более точных методов и средств измерений.

Расчет коэффициентов регрессии

Свойство ортогональности матрицы планирования позволяет рассчитывать коэффициенты уравнения регрессии (7.21) по методу наименьших квадратов, пользуясь следующими формулами:

b₀= ; b_i= ; (7.28, 7.29)

b_ij= ·x_ju (7.30)

Пример

Рассчитать коэффициенты уравнения регрессии y=b₀ +b₁x₁+b₂x₂+b₁₂x₁x₂ для полного факторного эксперимента типа 2². Расширенная матрица планирования и результаты эксперимента представлены в табл.7.3.

Таблица 7.3. Полный факторный эксперимент типа 2²

Номер опыта	Кодовые значения факторов		Парные взаимодействия факторов, Х1 ·Х2	Средние значения (выход продукта, %)
	Х1 (температура 165-175оС)	Х2 (Продолжительность опыта 4-6 ч.)
1	+1	+1	+1	У1=85,0
2	-1	-1	+1	У2=50,8
3	-1	+1	-1	У3=56,0
4	+1	-1	-1	У4=66,2

Решение

Коэффициенты регрессии рассчитываются по формулам (7.28 - 7.30)

b₀= · (85,0 + 50,8 + 56,0 + 66,2) = 64,4;

b₂= ;

b₁₂ = .

Таким образом, результаты эксперимента можно представить в виде уравнения

У = 64,4 + 11,1Х₁ + 6,0Х₂ + 3,4 Х₁Х₂ .

Оценка значимости коэффициентов регрессии

Некоторые из коэффициентов регрессии могут оказаться пренебрежимо малыми – незначительными. Коэффициент в_i считается значимым, если выполняется условие

│в_i│ > │Δb_i│ (7.31)

при этом Δb_i = ±t_табл· S_B (7.32)

S_B = (7.33)

где Δb_i – доверительный интервал; S_B - среднеквадратичная ошибка (отклонение) в определении коэффициента регрессии ; t_табл - табличное значение критерия Стьюдента, которое определяется по выбранному значению доверительной вероятности Р и числу степеней свободы f=N(m-1).

Проверка адекватности математической модели производится по критерию Фишера F (см. табл. 7.4).

При неадекватности модели наиболее часто принимают решение об уменьшении интервалов варьирования факторов и повторении эксперимента. Эффективно включение в план эксперимента нового фактора из числа тех, которые в предварительном эксперименте отсеялись.

Таблица 7.4 Проверка модели на адекватность

Наименование показателей	Обозначения и формулы для расчета
Расчетное значение функции отклика	По найденному уравнению регрессии Ypu=b0+bixi + bijxixj+…
Количество значимых коэффициентов регрессии	B
Оценка дисперсии адекватности	S2ад= (7.34)
Дисперсия воспроизводимости (ошибка опыта)	S2y = (7.35)
Расчетное значение критерия Фишера	Fp = S2ад/S2y (7.36)
Табличное значение критерия Фишера	F табл – определяется в зависимости от Р, f1 и f2
Числа степеней свободы, связанные с числителем и знаменателем выражения (7.35)	f1 = N – B (7.37) f2 = N(m-1) (7.38)
Условие адекватности модели	Fp Fтабл (7.39)