Планирование эксперимента
1. Полный факторный эксперимент (ПФЭ).
При планировании по схеме ПФЭ реализуют все возможные комбинации факторов на всех выбранных для исследования уровнях.
Уровнем фактора называется определенное значение фактора, которое будет фиксироваться при проведении эксперимента.
Необходимое количество опытов при ПФЭ определяется по формуле:
N=Qk , (7.22)
где Q – количество уровней; к- количество факторов.
Как правило, ПФЭ организуется только на двух уровнях, которые представляют собой границы исследуемой области по данному технологическому параметру. При этом N=2k, а постановка опытов по такому плану называется полным факторным экспериментом типа 2к.
С увеличением количества факторов резко возрастает число опытов. В этом случае можно уменьшить объем экспериментальных работ, воспользовавшись дробным факторным экспериментом ДФЭ.
Этапы планирования, проведения и обработки результатов ПФЭ: кодирование факторов; составление план-матрицы эксперимента; рандомизация опытов; реализация плана-эксперимента; проверка воспроизводимости опытов; расчет коэффициента регрессии; оценка значимости коэффициента регрессии; проверка адекватности математической модели.
Кодирование факторов . Для облегчения статистической обработки математической модели уравнение регрессии (7.20) должно содержать безразмерные (кодовые) величины факторов. Переход от натуральных значений факторов (хi) к кодированным (хi) осуществляется по формуле
Xi=
(7.23)
где Хi – натуральное
значение i-го фактора;
Xi(0) – значение фактора
на нулевом (среднем) уровне;
Xi
– интервал варьирования i-го
фактора (разность между данным и средним
значением фактора).
Например, при варьировании температуры в интервале 45÷55оС нижний (Хн) и верхний (Хв) уровни переменной равны
Хн=
Хв=
Удачный выбор интервала варьирования факторов гарантирует получение достоверной математической модели объекта.
Составление матрицы планирования эксперимента. План, содержащий запись всех комбинаций факторов (или их части для ДФЭ) в кодированной форме, называется матрицей планирования.
В табл. 7.1 и 7.2. представлены матрицы ПФЭ типа 22 и 23 и экспериментальные значения функций отклика; количество опытов рассчитывалось по формуле (7.22).
Таблица 7.1. Полный двухфакторный эксперимент
Номер опыта |
Факторы |
Функция отклика |
|
Х1 |
Х2 |
||
1 |
+1 |
+1 |
У1 |
2 |
-1 |
+1 |
У2 |
3 |
+1 |
-1 |
У3 |
4 |
-1 |
-1 |
У4 |
Таблица 7.2. Полный трехфакторный эксперимент
Номер опыта |
Факторы |
Функция отклика |
||
Х1 |
Х2 |
Х3 |
||
1 |
+1 |
+1 |
+1 |
У1 |
2 |
-1 |
+1 |
+1 |
У2 |
3 |
+1 |
-1 |
+1 |
У3 |
4 |
+1 |
+1 |
-1 |
У4 |
5 |
-1 |
-1 |
+1 |
У5 |
6 |
-1 |
+1 |
-1 |
У6 |
7 |
+1 |
-1 |
-1 |
У7 |
8 |
-1 |
-1 |
-1 |
У8 |
На практике необходимо учитывать парные взаимодействия факторов, для чего составляют расширенные матрицы (см.табл.7.3).
Чтобы искомая математическая модель в виде уравнения регрессии содержала наилучшие коэффициенты и точность предсказания значений функции отклика была одинакова по всем направлениям факторного пространства, матрица планирования ПФЭ должна удовлетворять условиям ортогональности и ротатабельности.
Условие ортогональности предполагает равенство нулю суммы произведений любых столбцов матрицы.
(7.24)
где u – номер опыта; i, j – номера различных факторов (i≠ j).
Свойство ортогональности позволяет вычислять коэффициенты регрессии по простым формулам независимо друг от друга.
Ортогональные планы ПФЭ для линейных моделей имеют и свойство ротатабельности, которое предполагает равенство и минимальность дисперсий (отклонений), предсказанных значений функций отклика для всех точек факторного пространства.