Общая характеристика методов решения задач нелинейного программирования

Когда целевая функция и ограничения нелинейны, и для поиска точки экстремума нельзя или очень сложно использовать аналитические методы решения, тогда для решения задач оптимизации применяются методы нелинейного программирования. Как правило, при решении задач методом нелинейного программирования используются численные методы с применением ЭВМ. В основном методы нелинейного программирования могут быть охарактеризованы как многошаговые методы или методы последующего улучшения исходного решения. В этих задачах обычно заранее нельзя сказать, какое число шагов гарантирует нахождение оптимального значения с заданной степенью точности. Кроме того, в задачах нелинейного программирования выбор величины шага представляет серьезную проблему, от успешного решения которой во многом зависит эффективность применения того или иного метода. Разнообразие методов решения задач нелинейного программирования как раз и объясняется стремлением найти оптимальное решение за наименьшее число шагов.

Большинство методов нелинейного программирования используют идею движения в n-мерном пространстве в направлении оптимума. При этом из некоторого исходного или промежуточного состояния U^k осуществляется переход в следующее состояние U^k+1 изменением вектора U^k на величину DU^k , называемую шагом, т.е.

U^k+1= U^k + DU^k (7.15)

В ряде методов шаг, т.е. его величина и направление определяется как некоторая функция состояния U^k

DU^k=f(U^k) (7.16)

Следовательно, согласно (7.15) новое состояние U^k, получаемое в результате выполнения шага (7.16) может рассматриваться как функция исходного состояния U^k

U^k+1= U^k+f(U^k) (7.17)

В некоторых методах DU^k обусловлен не только состоянием U^k, но и рядом предшествующих состояний

DU^k=f(U^k), U^k-1…, U^k-2 (7.18)

U^k+1= U^k+f(U^k), U^k-1..., U^k-2 (7.19)

Естественно, что алгоритмы поиска типа (7.19) являются более общими и принципиально могут обеспечить более высокую сходимость к оптимуму, т.к. используют больший объем информации о характере поведения оптимальной функции.

В настоящее время для решения подобных задач разработано значительное число методов, однако нельзя отдать предпочтение какому-либо одному. Выбор метода определяется сложностью объекта и решаемой задачей оптимизации.

Методы нелинейного программирования в соответствии со способом определения шага поиска R(U) можно отнести к одному из 3-х типов:

1. Безградиентные методы

2. Градиентные методы

3. Методы случайного поиска.

Все эти методы можно назвать прямыми итеративными методами.

Оптимизация химико-технологических процессов с использованием уравнения регрессии

Часто математической моделью процесса называют полученное эмпирическим путем уравнение, которое отражает количественную зависимость между параметрами процесса и имеет следующий вид:

Y=f(x₁, x₂, …x_k), (7.20)

Уравнению (7.20), т.е. функции отклика, соответствует некоторая гиперповерхность в многомерном пространстве, называемом поверхностью отклика, пространство, в котором существует указанная поверхность, - факторным пространством. В простейшем случае, когда исследуется зависимость отклика от одного фактора поверхность отклика представляет собой линию на плоскости в двухмерном пространстве. В общем случае, когда рассматривается К факторов, уравнение (7.20) описывает поверхность отклика в (К+1)-мерном пространстве.

При весьма ограниченных знаниях о механизме процесса функцию отклика представляют в виде полинома ( уравнения регрессии)

Y=b₀+ + + +…(7.21)

где b₀, b_i, b_ij, b_ii - выборочные коэффициенты регрессии.

Так как степень полинома заранее предсказать нельзя, то сначала пытаются описать исследуемое явление самой простой линейной моделью. Далее проводят оценку ее качества - проверку модели на адекватность. Если результат оказался неудовлетворительным, повышают степень полинома, увеличивают число его членов и так до тех пор, пока не будет получена модель, адекватно описывающая результаты эксперимента. Проверка адекватности - статистическая процедура, выполняемая обычно с помощью F-критерия Фишера.

Математические модели, полученные при исследовании технологических объектов, позволяют решать ряд задач, например, осуществлять поиск оптимальных составов композиций, оптимальных условий работы исследуемого объекта (экстремальный эксперимент), проводимый с целью интенсификации производства, улучшения качества продукции.

Для получения математической модели объекта эксперименты обычно ставятся по заранее составленному алгоритму. Эта процедура называется планированием эксперимента.

По способу организации различают пассивное и активное экспериментирование. В первом случае объекты исследования наблюдают, результаты регистрируют и обрабатывают. Оценка свойств объекта в этом случае затруднена и осуществляется только по результатам многократных наблюдений. Более эффективным является целенаправленное изменение процесса и регистрации результатов, т.е. активное экспериментирование. Планировать можно только активный эксперимент.

Чтобы получить математическую модель, используют факторный эксперимент, суть которого заключается в варьировании всех факторов объекта исследования по определенному плану.

При планировании эксперимента необходимо учитывать требования к факторам и параметрам оптимизации. Важнейшими требованиями к факторам при постановке факторного эксперимента являются совместимость и некоррелированность. Совместимость означает, что внутри заданной области исследования практически осуществимы любые сочетания значений всех рассматриваемых факторов. Если же происходит нарушение режима работы изучаемого процесса, то такое сочетание факторов следует считать несовместимым, что требует изменения области определения уровней варьирования одного из факторов.

Требование некоррелированности (независимости) выдвигается для того, чтобы имелась возможность изменять значение каждого из факторов независимо друг от друга.

Поэтому перед осуществлением факторного эксперимента определяются: области существования факторов; число факторов и их взаимодействий, включаемых в план основного эксперимента; интервалы варьирования факторов; число параллельных опытов.

При планировании эксперимента предъявляются определенные требования и к параметрам оптимизации, выполнение которых необходимо для успешного решения задачи. Желательно, чтобы система во всей полноте характеризовалась небольшим числом параметров оптимизации, имеющих ясный физический смысл, что защищает экспериментатора от ошибок и упрощает технологическую интерпретацию полученных результатов.

Проверка соответствия входных и выходных параметров перечисленным требованиям осуществляется в ходе так называемого предварительного эксперимента.