3.2 Свойства определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница

Непосредственно из определения выводятся следующие свойства определенного интеграла:

1.

2.

3.

4. .

(Во всех формулах и непрерывны на .)

Связь определенного и неопределенного интегралов задается формулой Ньютона-Лейбница: если то .

Пример1. .

Пример2. .

Пример3.

3.3 Замена переменной и формула интегрирования по частям

Если функция непрерывна на отрезке и – функция, непрерывная вместе со своей производной на отрезке , где и , причем определена и непрерывна на отрезке , то

Пример 1. Найти , а>0.

Пусть ;

; тогда и, следовательно, можно принять

. Поэтому

.

Пример 2. Вычислить .

.

Пример 3. Вычислить

.

Если функции и непрерывно дифференцируемы на отрезке [a;b], то

Пример 1. Вычислить

Решение:

.

Пример 2. Вычислить

Если – четная функция, т. е. , то .

Если – нечетная функция, т.е. , то .

Пример 1. Вычислить

Подинтегральная функция – четная, так как ,

Пример 2. Вычислить .

Подинтегральная функция нечетная, следовательно .

§4. Приложения определенного интеграла

4.1 Вычисление площадей плоских фигур

Если на [a; b] , то с геометрической точки зрения определенный интеграл равен площади криволинейной трапеции, ограниченной прямыми , , осью и кривой .

Если непрерывная кривая задана в прямоугольных координатах уравнением , то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, двумя вертикалями в точках , и отрезком оси абсцисс , определяется формулой

.

Если криволинейная трапеция ограничена прямыми , , осью и кривой , где , , то

Если криволинейная трапеция ограничена прямыми , , и двумя кривыми и , то :

Пример 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной синусоидой и осью при .

Решение:

Так как при и при , получим

,

. Следовательно, .

Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми .

Р ешение: Находим точки пересечения кривых ; , откуда , .

Следовательно,

4.2 Объем тела вращения

Если тело образуется при вращении вокруг оси криволинейной трапеции , то любое его плоское сечение, перпендикулярное к оси , будет кругом, радиус которого равен соответствующей ординате кривой .

Площадь сечения , соответствующего абсциссе , как площадь круга, равна . Дифференциал объема тела, соответствующий приращению , будет , а весь объем тела вращения определяется формулой .

Е сли тело образуется при вращении вокруг оси криволинейной трапеции , ограниченной кривой , то , а объем тела вращения определяется формулой .

Таким образом, объемы тел, образованных вращением криволинейной трапеции, ограниченной кривой , осью , и двумя вертикалями , , вокруг осей и , выражаются соответственно формулами:

.

Пример. Вычислить объем тел, образуемых вращением фигуры, ограниченной одной полуволной синусоиды и отрезком оси вокруг: а) оси ; б) оси .

Решение:

В более общих случаях объемы тел, образованных вращением фигуры, ограниченной кривыми и и прямыми , , вокруг координатных осей и ,, соответственно равны

Пример. Найти объем тора, образованного вращением круга вокруг оси .

Решение: ,