2.2 Интегрирование по частям

Интегрированием по частям называется нахождение интеграла по формуле:

,

где , – непрерывно дифференцируемые функции от .

С помощью этой формулы отыскание сводится к отысканию другого , если последний интеграл проще исходного.

При этом за берется такая функция, которая при дифференцировании упрощается, а за – та часть подынтегрального выражения, содержащая , интеграл от которой известен или может быть найден.

При нахождении интегралов видов , , , за следует принимать многочлен , а за соответственно выражения , , , .

При нахождении интегралов видов , , , за принимаются соответственно функции , , , , а за выражение .

Пример 1.

.

Пример 2.

.

Иногда, чтобы свести интеграл к табличному, приходится применять формулу интегрирования по частям несколько раз.

Пример 3.

.

Пример 4.

.

Пример 5.

.

В некоторых случаях с помощью формулы получают уравнения, из которого определяется искомый интеграл.

Пример 6.

.

Следовательно,

.

Найдем искомый интеграл из этого уравнения:

.

2.3 Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен

1. Интегралы видов и решаются путем выделения полного квадрата из трехчлена, стоящего в знаменателе, в результате чего получается табличный интеграл.

Пример 1.

.

Пример 2.

2. Интегралы видов и решаются путем выделения в числителе производной квадратного трехчлена, стоящего в знаменателе. Затем полученный интеграл нужно разложить на сумму двух интегралов.

Пример 3.

Первый интеграл находим, используя замену переменной

, тогда ,

а во втором интеграле в знаменателе выделяем полный квадрат:

.

Пример 4.

.

2.4 Интегрирование рациональных дробей

Если рациональная дробь является неправильной, то есть , то её можно представить в виде суммы , где и – многочлены степеней и , причем < . Разложение правильной дроби в сумму простейших имеет вид:

если ,

где – неопределенные коэффициенты.

При этом каждая из простейших дробей, стоящих в правой части равенства, интегрируется в квадратурах.

Таким образом, для того, чтобы проинтегрировать рациональную дробь, необходимо в случае, если она является неправильной, выделить целую часть, затем разложить знаменатель оставшейся правильной дроби на множители степени не выше второй и представить эту дробь в виде суммы простейших дробей, вычислив коэффициенты их числителей с помощью метода неопределенных коэффициентов.

Пример 1.

Подынтегральной функцией является правильная дробь, разложение которой в сумму простейших имеет вид:

Приводя правую часть к общему знаменателю, получаем:

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях , что приведет к линейной системе относительно

Отсюда Следовательно,

,

где

Таким образом, окончательный результат имеет вид:

Пример 2. . Разделив числитель неправильной подынтегральной дроби на знаменатель, получим

.

Разложим правильную дробь на простейшие дроби:

.

Приводя правую часть к общему знаменателю, получаем:

или .

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях последнего тождества:

Отсюда: Подставим эти коэффициенты в схему разложения правильной дроби и получим:

.

Искомый интеграл равен:

.

Пример 3. . Так как квадратичный множитель не имеет действительных корней, то разложение правильной подынтегральной дроби имеет вид

.

Освободимся от знаменателя и раскроем скобки.

.

Применим метод неопределенных коэффициентов и метод частных значений для нахождения коэффициентов . Так как действительным корнем знаменателя является , то подставим это значение в последнее тождество:

,

, . Коэффициенты и найдем, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях и :

,

Отсюда: .

Подставим коэффициенты в схему разложения правильной дроби:

.

Искомый интеграл

.