Дифференцирование функции заданной параметрически.
Пусть функция задана параметрически на множестве Х посредством переменной t, называемой параметром:
Предположим, что функции х=(t) и у=(t) имеют производные ((t)0).
Тогда первая производная функции выражается формулой:
А вторая производная функции выражается формулами:
I способ |
II способ |
|
|
Замечание: II способ вычисления второй производной функции заданной параметрически применим в том случае, если первая производная компактно упрощена и от полученного выражения легко считается производная, в противном случае применим I способ.
Вычислить первую и вторую производные функции:
|
|
Вычисляем:
|
Вычисляем:
|
Вычисляем первую производную функции:
|
Вычисляем первую производную функции:
|
Вычисляем вторую производную функции:
|
Вычисляем вторую производную функции:
не целесообразен |
Правило Лопиталя.
Пусть функции f(x)
и g(x)
определены и дифференцируемы в некоторой
окрестности точки а,
за исключением, быть может, самой точки
а
и g(х)0.
Пусть
в указанной окрестности точки а.
Тогда, если существует предел отношения
производных
(конечный или бесконечный), то существует
и предел
,
причём справедлива формула:
.
Правило Лопиталя раскрывает неопределённости типа
и
.
Правило Лопиталя может применяться многократно.
Правило Лопиталя применяется и для х, х+, х-, хх0-0, хх0+0.
Вычислить предел, используя правило Лопиталя:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Схема исследование функции для построения её графика.
найти область определения функции (и по возможности указать область значений функции); найти вертикальные асимптоты;
исследовать функцию на чётность, нечётность, периодичность;
найти точки пересечения графика функции с осями координат;
с помощью первой производной исследовать функцию на возрастание, убывание, найти точки экстремума;
с помощью второй производной исследовать функцию на выпуклость, вогнутость, найти точки перегиба;
найти горизонтальные, наклонные асимптоты;
по необходимости найти дополнительные точки графика функции;
Построить график функции.