Метод исключения переменных
Метод исключения переменных заключается в следующем: в одном из уравнений выражаем одно неизвестное и подставляем в другие, тем самым понизив количество неизвестных в этих уравнениях. Далее продолжим этот прием в этих уравнениях, и т.д. пока ни получим уравнение с одним неизвестным. Решив его, далее последовательно найдем остальные неизвестные.
Например, решить систему:
.
из третьего уравнения системы находим z = 10 – 3x + y.
Подставляем найденное выражение для z в первое и второе уравнение системы:
.
Получили систему двух уравнений с двумя неизвестными х и у .
После упрощения будем иметь
.
Эту систему можно решить любым известным способом (подстановкой или сложением), получим: х = 3, у = 4. Теперь можно найти z:
Z = 10 - 3∙3 + 4 = 5.
Ответ: (3; 4; 5).
Метод Крамера
Метод Крамера состоит в следующем: составляется n + 1 определитель:
Δ – определитель системы (составляется из коэффициентов системы в том порядке, как они записаны в системе;
Δхi – определители каждого неизвестного (составляются из определителя системы Δ путем последовательной замены столбца коэффициентов того неизвестного, определитель которого записывается, столбцом свободных коэффициентов;
Решение системы находится по формулам Крамера:
х1
=
;
х2
=
;
… ; хn
=
.
Если Δ = 0, то система либо не имеет решений, либо имеет бесконечное множество решений, которые могут быть найдены методом исключения.
Например, решить систему методом Крамера:
.
Решение. Составим и найдем определитель системы:
Δ =
= - 27
Составим и найдем определитель Δх (заменим столбец коэффициентов при неизвестном х столбцом свободных коэффициентов):
Δх =
= - 81
Вернем первый столбец на место и составим и найдем определитель Δу (заменим столбец коэффициентов при неизвестном у столбцом свободных коэффициентов):
Δу =
= - 108
Вернем второй столбец на место и составим и найдем определитель Δz (заменим столбец коэффициентов при неизвестном z столбцом свободных коэффициентов):
Δz =
= - 135.
Подставив найденные значения определителей в формулы Крамера, получим:
х =
;
у =
;
z
=
.
Ответ: (3; 4; 5 ).
Метод Гаусса
Метод Гаусса состоит в следующем: система линейных уравнений сводится к треугольной системе путем последовательного сложения или вычитания уравнений, умноженных в случае надобности на соответствующее число, с целью уничтожения некоторого неизвестного до тех пор пока ни приходят к уравнению с одним неизвестным. Найдя его, находят остальные.
Например, решить систему методом Гаусса:
Д
ля
создания треугольной системы в качестве
первого уравнения можно записать любое
из трех (т. к. у каждого коэффициент при
х
не равен нулю). Далее примем решение
избавиться от неизвестного х.
Для этого первое уравнение умножим на
– 5 и
сложим со вторым, затем его же умножим
на – 3
и сложим с третьим:
получим
следующую систему:
Затем примем решение исключить неизвестное у. Для этого умножим второе уравнение на (-7), третье – на ( 9) и сложим их:
получим
– треугольная система из которой
можно найти z:
z =
= 5,
таким образом, найденное значение для z подставим в другие уравнения и найдем х и у:
Ответ: (3, 4, 5).
Рассмотренные методы позволяют решить систему любого порядка, если она имеет решение.
Пример.
Решить систему:
Решение. Решим эту систему трех уравнений с четырьмя неизвестными методом Гаусса. Умножим первое уравнение на (– 2) и сложим со вторым уравнением,
=
затем первое умножим на (- 1) и сложим почленно с третьим уравнением:
=
=
получим треугольную систему уравнений:
=
равносильную исходной системе.
Положив х4
= с, где с
– произвольное число из третьего
уравнения системы находим х3
= - 1 -
,
из второго находим х2
= 1 +
.
Таким образом, любая
последовательность из четырех чисел (
2 – с;
1 +
; - 1 -
;
с ), где
является решением данной
системы, и других решений
система не имеет.
Ответ: система имеет бесконечное множество решений:
( 2 – с; 1 + ; - 1 - ; с ).
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
Дать определение системы n – го порядка. Что означают индексы при коэффициентах?
Какие методы решения систем линейных уравнений мы изучаем?
В чем состоит суть каждого метода?
Как проверить правильность решения?
Какой метод предпочтителен именно для тебя?
Предположим, что коэффициенты системы являются приближенными числами. Это значит, что ответы тоже будут приближенными. В каком из методов, на твой взгляд, ошибка при округлении результата будет больше?
ОТВЕТЫ НА ВОПРОСЫ
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….