Ранг матрицы
Определение. Рангом матрицы называется наибольший порядок отличных от нуля ее миноров. Обозначение: rangA.
Пример.
rang
2,
т.к. подматрица второго порядка
- невырожденная (т.е. ∆
≠ 0), а все
подматрицы третьего порядков –
вырожденные (∆
= 0 ).
Свойства ранга матрицы
Ранг матрицы не изменится при следующих преобразованиях:
При перемене местами двух строк (столбцов),
При умножении одной строки (столбца) на число не равное 0,
При сложении одной строки (столбца) с другой строкой (столбцом),
При транспонировании матрицы.
Вычисление ранга матрицы
Вычисление ранга матрицы сводится к тому, чтобы на основании свойств ранга привести матрицу А в трапециевидную матрицу А' того же ранга. Тогда ранг матрицы А' равен числу главных диагональных элементов, отличных от нуля.
Рекомендации:
1)
переставляя строки и столбцы, добиться,
чтобы
≠ 0,
2) сложением первой строки умноженной на соответствующий множитель, с другими строками всегда можно добиться, чтобы элементы первого столбца ниже были равны нулю,
3) если процесс не закончен, то повторить с первого пункта, начиная со второй строки и т.д.
Этот процесс называется алгоритмом Гаусса.
Пример 1. (Стрелкой показано вместо какой строки или столбца записывается итоговая сумма)
Найти
ранг матрицы А
=
Сложим первую строку матрицы А с третьей:
r
angА'
=
=
и, умножив первую строку на (-2), сложим о второй строкой:
r
ang
= rang
=
з
атем
третью строку на (7)
и сложим со второй строкой: = rang
=
=
rang
= 2.
Пример 2.
Найти
ранг матрицы А
=
.
Решение. rangА' = rang =
Переставим местами первый и второй столбец затем первую строку умножим на 0,5
=
rang
=
затем первый столбец умножим на (2) и сложим с третьим столбцом:
=
rang
=
-2
затем первую строку умножим на (4) и сложим со второй:
=
rang
=
затем первую строку умножим на (-1) и сложим с третьей:
=
rang
=
з
атем
первую строку умножим на (-5)
и сложим с четвертой:
= rang
=
затем вторую строку умножим на (3) и сложим с третьей:
=
rang
=
умножим второй столбец на (-3) и сложим с третьим столбцом:
-3
=
rang
=
=
rang
=
2.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
Дать определение матрицы. Виды матриц.
Какие операции над матрицами можно осуществлять? В чем состоит их суть?
Все ли свойства действий над матрицами подобны свойствам действий над числами? Какие из свойств и при каких действиях не подобны, а какие подобны?
Дать определение обратной матрице. Правило вычисления обратной матрицы.
Дать определение ранга матрицы. Правило вычисления ранга матрицы.
На какие свойства ранга матрицы обратить внимание при вычислении ранга?
ОТВЕТЫ НА ВОПРОСЫ
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….