Свойства определителей 2 – го и 3 – го порядков

Определитель не изменится, если в нем строки и столбцы поменять местами. Это свойство утверждает равноправие строк и столбцов. Поэтому в дальнейшем свойства будем формулировать лишь для строк;

2) Если в определителе переставить местами две какие-либо строки местами, то определитель изменит только знак;

3) Если все элементы какой-либо строки имеют общий множитель, то его можно вынести за знак определителя;

4) Если у определителя все элементы какой-либо строки заданы как суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, в одном из которых суммы заменены их первыми слагаемыми, а во втором – вторыми.

Следствия:

1) Определитель, у которого две какие-либо строки одинаковы,

равен нулю.

2) Если в определители элементы одной строки пропорциональны

элементам какой-либо другой строки, то определитель равен нулю.

3) Если к элементам какой-либо строки соответственно прибавить

элементы какой-либо другой строки или числа, им пропорциональные, то

определитель не изменится.

Пример 1. Вычислить определитель

Вынесем за знак определителя общие множители элементов каждой строки:

третью строку прибавим к первой и ко второй: .

Разложив получившийся определитель по первой строке, получим:

Ответ:  = 10080.

Пример 2. Вычислить определитель .

Вынесем общий множитель элементов второй строки за знак определителя:

 = 12 .

Прибавим к первой строке вторую, получим:  = 12 = 0,

т.к. определитель имеет две одинаковые строки.

Ответ:  = 0.

Пример 3. Вычислить определитель .

Из первой строки вычтем вторую, а затем получившийся определитель разложим по элементам первой строки:

= , т.к. строки пропорциональны.

Ответ:  = 0.

Пример 4. Вычислить определитель .

Вынесем общий множитель элементов второй строки (число 6) и общий множитель элементов третьей строки (число 2), а затем вынесем общий множитель элементов первого столбца (число 3) и общий множитель элементов второго столбца (число 4):