Тема 2. Метод множителей Лагранжа решения змп.

-это наиболее общий способ отыскания экстремума функции нескольких переменных, при наличии дополнительных уравнений, связывающих между собой эти переменные (нахождение условного экстремума).

Дано: Целевая функция задачи. =

Система уравнений – m ограничений на переменные:

Решение: Составим функцию Лагранжа: =

= + [ - ] + [ - ] + …+ [ - ],

где - новые неизвестные задачи, множители Лагранжа.

Найдём безусловный экстремум полученной функции. Воспользуемся необходимым условием существования экстремума для функции двух переменных:

Если функция достигает экстремума в точке М₀ , то все её первые частные производные в этой точке равны нулю или не существуют.

Найдём все частные производные этой функции, приравняем их к нулю и составим систему уравнений:

, , … , , , , … ,

Каждое решение данной системы – критическая точка, принадлежащая ОДР задачи.

Если точек несколько, выбираем из них наибольшее и наименьшее значение.

Если точка единственная, воспользуемся достаточным условием существования экстремума:

Составим матрицу Гессе из вторых частных производных функции Лагранжа.

Если и далее знаки главных миноров матрицы чередуются, то критическая точка- точка максимума. Если и далее знаки чередуются, то критическая точка- точка минимума.

Экономический смысл множителей Лагранжа. Множители Лагранжа указывают, как изменится оптимальное значение целевой функции при изменении соответствующих им параметров задачи , , … , на единицу. То есть k-тый множитель Лагранжа определяет ценность k-того ресурса.

Тема 4. Геометрическое решение задач математического программирования.

Рассмотрим ЗМП с двумя неизвестными:

- целевая функция - система ограничений

1) Строим ОДР задачи.

Областью решения каждого из неравенств будет часть плоскости, ограниченная линией . Очевидно, что решением системы неравенств будет пересечение всех их областей решений. ОДР задачи МП – общая часть областей решений всех неравенств системы ограничений.

Если ОДР – пустое множество, задача не имеет решения в силу несовместности системы ограничений.

Если ОДР – непустое множество, задача имеет одно или бесконечное множество решений.

2) Строим линии уровня целевой функции (линии, в которых значение функции постоянно).

=С –уравнения линий уровня.

Если Z – линейная функция, то её линии уровня – семейство прямых, перпендикулярных вектору градиенту этой функции.

Вектором градиентом функции называется вектор , координаты которого равны частным производным этой функции.

3) Двигаясь от одной линии уровня к другой в направлении вектора градиента (в задачах на максимум) или в противоположном направлении (в задачах на минимум), находим опорную кривую.

Опорная кривая _ такая линия уровня, которая имеет хотя бы одну общую точку с ОДР, и, при этом, не разделяет её на части.

4) Находим оптимальное решение задачи – общие точки ОДР и опорной кривой.