Тема 1. Функция – зависимость между числовыми величинами, при которой аргументу функции ставится в соответствие одно и только одно значение функции.

Важнейшая характеристика функции – скорость её изменения – определяется значением её производной. Производная показывает, как изменится исследуемая нами величина, при небольшом изменении переменных, от которых она зависит.

Производная функции равна конечному пределу отношения приращения функции

к приращению аргумента, когда оно стремиться к 0.

Функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Признаки монотонности Функция возрастает на тогда и только тогда, когда .

Функция убывает на , тогда и только тогда, когда

( Функция возрастает - производная положительна, функция убывает - производная отрицательна).–

Определения экстремумов	Точка -локальный максимум, если для всех точек «около» выполняется :		Точка -локальный минимум, если (эпсилон - окрестности) :
Необходимое условие экстремума	Если в точке функция достигает экстремума, то её производная в этой точке равна 0 или не существует.
Достаточные условия экстремума	Первое Если в любой точке окрестности слева от неё производная функции положительна, а справа – отрицательна, то - локальный максимум функции. А если производная при переходе через меняет знак с «-» на «+», то - локальный минимум.	Второе Если в точке первая производная равна 0, а вторая производная отрицательна, то - локальный максимум функции. Если в точке первая производная равна 0, а вторая производная положительна ,то - локальный минимум функции.

Частные производные функции двух переменных.

Частной производной по х от функции называется производная по х, вычисленная в предположении, что у – постоянная, а частной производной по у от функции называется производная по у, вычисленная в предположении, что х – постоянная.

;

Вектор градиент. Вектор, координаты которого равны частным производным функции , называется вектором градиентом этой функции. .

Определение локального экстремума функции нескольких переменных. Функция имеет локальный максимум в точке М₀(х₀,у₀), если значении функции в этой точке больше, чем её значение в любой другой точке М(х,у) некоторой окрестности точки М₀

(Точка М₀ – максимум, если для любых точек её окрестности.)

Точка М₀ – минимум, если для любых точек её окрестности.

.Необходимое и достаточное условие существования экстремума для функции двух переменных.

Необходимое: Если функция достигает экстремума в точке М₀(х₀,у₀), то все её первые частные производные в этой точке равны нулю или не существуют.

Достаточное: Пусть в некоторой окрестности точки М₀(х₀,у₀) функция имеет непрерывные частные производные, равные нулю в этой точке, тогда, если , то М₀(х₀,у₀) – является экстремумом функции , причём, если , точка М₀ – минимум, если , точка М₀ – максимум.