Лекция 12. Метод вспомогательных секущих поверхностей посредников

Для определения точек, принадлежащих линии пересечения поверхностей, часто пользуются вспомогательными секущими поверхностями. Поверхности-посредники пересекают данные поверхности по линиям, которые, в свою очередь, пересекаются в точках, принадлежащих линии пересечения данных поверхностей. Секущие поверхности-посредники выбираются так, чтобы они, пересекаясь с данными поверхностями, давали простые для построения линии, например прямые и окружности. Из общей схемы построения линии пересечения поверхностей выделяют два основных метода - метод секущих плоскостей и метод секущих сфер.

12.1 Метод вспомогательных секущих плоскостей

Простейшая позиционная задача с использованием этого метода - оценка взаимного расположения прямой и плоскости. Сущность метода заключается  в следующем: через прямую проведем вспомогательную секущую плоскость  и установим относительное положение двух прямых а и в, последняя из которых является линией пересечения вспомогательной секущей плоскости  и данной  плоскости  (рис.150).

Рисунок 150. Метод вспомогательных секущих плоскостей

Каждому из трех возможных случаев относительного расположения этих прямых соответствует аналогичный случай взаимного расположения прямой и плоскости. Так, если обе прямые совпадают, то прямая а лежит в плоскости , параллельность прямых укажет на параллельность прямой и плоскости и, наконец, пересечение прямых соответствует случаю, когда прямая а пересекает плоскость .

Таким образом возможны три случая относительного расположения прямой и плоскости:

• прямая принадлежит плоскости;

• прямая параллельна плоскости;

• прямая пересекает плоскость.

Вспомогательные секущие плоскости чаще всего выбирают перпендикулярными или параллельными плоскости проекций.

Этот способ рекомендуется применять, если сечения заданных поверхностей одной и той же плоскостью являются прямыми линиями или окружностями. Такая возможность существует в трех случаях:

• если образующие (окружности) расположены в общих плоскостях уровня;

• если в общих плоскостях уровня оказываются прямолинейные образующие линейчатой поверхности и окружности циклической;

• линейчатые каркасы заданных поверхностей принадлежат общим плоскостям уровня или пучкам плоскостей общего положения.

12.2 Метод вспомогательных секущих сфер

При определении линии пересечения двух поверхностей вращения, при их особом взаимном расположении, не всегда рационально применять вспомогательные секущие плоскости. В некоторых случаях применяют метод вспомогательных секущих сфер – концентрических или эксцентрических.

Концентрические сферические посредники применяются при определении линии пересечения двух поверхностей вращения с пересекающимися осями.

Каждая из этих поверхностей имеет семейство окружностей, являющихся линиями сечения их концентрическими сферами. Применению метода концентрических сфер должно предшествовать такое преобразование чертежа, в результате которого оси обеих поверхностей должны быть расположены параллельно одной и той же плоскости проекций (рис.151) или одна из осей становиться проецирующей прямой, а вторая - линией уровня (рис.152).

а) модель б) эпюр

Рисунок 151. Пересечение поверхностей вращения, оси которых параллельны фронтальной плоскости проекций

Оси поверхностей G и Q параллельны фронтальной плоскости проекций и пересекаются в точки А (рис.151). Эта точка принимается за центр всех вспомогательных концентрических сфер. Каждая из концентрических сфер пересекает поверхности по окружностям - параллелям (а, b, c, d, n), фронтальные проекции которых являются прямыми линиями (а₂, b₂, c₂, d₂, n₂). Проекции точек 1₂, 2₂, 3₂, 4₂, 5₂ и 6₂ пересечения проекций параллелей принадлежат проекции искомой линии пересечения поверхностей. Пересечение главных фронтальных меридианов поверхностей определяют положение верхней и нижней точек (7 и 8) линии.

Для точного построения линии пересечения поверхностей необходимо найти точки 9 и 10, которые определяют границу зоны видимости линии пересечения поверхностей на горизонтальной проекции. Для этой цели использовалась вспомогательная секущая плоскость b, которая пересекает поверхность Q по линии m, а поверхность G по образующим, горизонтальные проекции которых пересекаясь определяют положение искомых точек.

Соединив найденные точки 1...10 с учетом видимости получим линию пересечения поверхностей.

Рисунок 152. Пересечение поверхностей вращения, ось одной - горизонтально проецирующая прямая, а второй - горизонталь

Вторым примером использования в качестве вспомогательных поверхностей посредников концентрических сфер рассмотрим при определении линии пересечения поверхностей предложенных на рисунке 152. Оси поверхностей вращения G и Q пересекаются в точки А, при этом ось поверхности Q - горизонтально проецирующая прямая, а ось поверхности G - горизонталь. Точка А принимается за центр всех вспомогательных концентрических сфер.

Точки 1 и 2 линии пересечения построены с помощью сферы радиуса R. Эта сфера пересекает поверхность Q  по окружности а, а поверхность G по окружности b, которая показана только на горизонтальной проекции. Пересечение горизонтальных проекций окружностей а₁ и b₁ определяют проекции 1₁ и 2₁ точек линии пересечения. Их фронтальные проекции 1₂ и 2₂ построены на а₂ пересечении с линиями связи.

Аналогично найдены точки 3 и 4.

Для нахождения точек 5 и 6 определяющих границу зоны видимости на горизонтальной проекции, использовалась вспомогательная секущая плоскость ,которая пересекает поверхность Q по окружность n, а коническую поверхность G по треугольнику, определяющему ее очерк на горизонтальной проекции.

Точки 7 и 8 находятся на границе зоны видимости фронтальной проекции, для их нахождения используется вспомогательная секущая плоскость . Соединив найденные точки 1...8 с учетом видимости получим линию пересечения поверхностей G и Q.

Эксцентрические сферические посредники применяются при определении точек линии пересечения поверхностей вращения с поверхностью несущей на себе непрерывное множество окружностей. Обе поверхности должны иметь общую плоскость симметрии. Вспомогательные эксцентрические сферы пересекаются с данными поверхностями по окружностям.

а) модель б) эпюр

Рисунок 153. Пересечение конуса и сферы

Определения линии пересечения конуса  и сферы  применение эксцентричных сфер, как поверхностей - посредников. Центры сфер - точки  расположены на оси конуса. Сфера  пересекает конус и сферу по окружностям , которые пересекаются в  двух точках, принадлежащих искомой линии пересечения (рис.153а).

Верхняя и нижняя точки линии пересечения найдены с помощью вспомогательной секущей плоскости - плоскости  главного фронтального меридиана, пересекающая конус и сферу по треугольнику и окружности, являющимися очерками поверхностей на фронтальной плоскости проекций.

Точки, определяющие границу зоны видимости линии пересечения на горизонтальной плоскости проекций, найдены с помощью вспомогательной секущей плоскости  - горизонтальной плоскости уровня, пересекающей сферу по экватору - окружности являющейся очерком шара на горизонтальной проекции, а конус по окружности - параллели.

Точки, найденные с помощью вспомогательных поверхностей посредников, определяют линию пересечения конуса и шара.

Рассмотрим, на примере определения линии пересечения конуса Q и сферы G (рис.153б), применение эксцентричных сфер, как поверхностей - посредников. Центры сфер - точки А¹, А² и А³ расположены на оси конуса. Сфера радиуса R¹ с центром в точке А¹ пересекает конус и сферу по окружностям а и в, которые пересекаются в точках 1 и 2, принадлежащих искомой линии пересечения. С помощью сферы R² с центром А² и сферы R³ с центром А³ определено положение точек 3, 4 и 5,6 соответственно. Точки 7 и 8 найдены с помощью вспомогательной секущей плоскости a (плоскости фронтального меридиана), пересекающей конус и сферу по главным фронтальным меридианам k и l. Точки 9 и 10, определяющие границу зоны видимости линии пересечения на горизонтальной плоскости проекций, найдены с помощью вспомогательной секущей плоскости  b (горизонтальной плоскости уровня), пересекающей сферу G по экватору s, а конус Q по окружности p. Точки 1...10, построенные с помощью вспомогательных поверхностей посредников, определяют линию пересечения конуса и шара.