Методы преобразования ортогональных проекций

Если по условию задачи требуется найти расстояние до прямой параллельной одной из плоскостей проекций, т.е. прямой уровня, то без преобразования ортогональных проекций можно только найти проекции перпендикуляра. Пусть прямая  f (фронталь), т.е. f//П₂, значит, согласно теореме о проецировании прямого угла, перпендикуляр можно проводить из проекций  А₂  к фронтальной  проекции прямой m₂, на эту плоскость угол будет проецироваться без искажения (рис. 144). Однако полученные проекции отрезка АК  не отражают истинной величины отрезка потому, что АК - отрезок прямой общего положения.

а) модель б) эпюр

Рисунок 144. Расстояние от точки до фронтальной прямой

Общий случай подобной задачи, когда требуется найти расстояние от точки до прямой общего положения, то даже построение проекции искомого отрезка без преобразования проекций не представляется возможным.

Сопоставление приведенных чертежей показывает, что трудности решения одной и той же задачи существенно зависят от положения геометрических объектов относительно плоскостей проекций.

В связи с этим, естественно, возникает вопрос, каким путем можно получить удобные проекции для решения поставленной задачи по заданным неудобным ортогональным проекциям.

Переход от общего положения геометрической фигуры к частному можно осуществлять за счет изменения положения проецируемой фигуры относительно плоскостей проекций.

При ортогональном проецировании это достигается двумя путями:

1. Перемещение в пространстве проецируемой фигуры так, чтобы она заняла частное положение относительно плоскостей проекций, которые при этом не меняют своего положения в пространстве - метод плоскопараллельного перемещения.

2. Перемещением плоскостей проекций в новое положение по отношению, к которому проецируемая фигура окажется в частном положении - метод замены плоскостей проекций.

Метод плоскопараллельного перемещения

Изменение взаимного положения проецируемого объекта и плоскостей проекций методом плоскопараллельного перемещения осуществляется путем изменения положения геометрического объекта так, чтобы траектория движения её точек находилась в параллельных плоскостях. Плоскости носители траекторий перемещения точек параллельны какой-либо плоскости проекций (рис. 145). Траектория произвольная линия. При параллельном переносе геометрического объекта относительно плоскостей проекций, проекция фигуры хотя и меняет свое положение, но остается конгруэнтной проекции фигуры в ее исходном положении.

а) модель б) эпюр

Рисунок 145. Определение натуральной величины отрезка методом плоскопараллельного перемещения

Свойства плоскопараллельного перемещения:

1. При всяком перемещении точек в плоскости параллельной плоскости П₁, её фронтальная проекция перемещается по прямой линии, параллельной оси х.

2. В случае произвольного перемещения точки в плоскости параллельной П₂, её горизонтальная проекция перемещается по прямой параллельной оси х.

В зависимости от положения этих плоскостей по отношению к плоскостям проекций и вида кривой линии - определяющей траекторию перемещения точек, метод плоскопараллельного проецирования имеет следующие частные случаи:

Метод вращения вокруг оси, перпендикулярной плоскости проекций.

Метод вращения вокруг оси, параллельной плоскости проекций.

Метод вращения вокруг оси, принадлежащей плоскости проекций (вращение вокруг следа плоскости)- метод совмещения.

Метод вращения вокруг оси, перпендикулярной плоскости проекций

Траектория - дуга окружности, центр которой находится на оси перпендикулярной плоскости проекций. Для определения натуральной величины отрезка прямой общего положения АВ (рис. 146), выберем ось вращения перпендикулярную горизонтальной плоскости проекций и проходящую через В. Повернем отрезок так, чтобы он стал параллелен фронтальной плоскости проекций (горизонтальная проекция отрезка параллельна оси x). При этом точка А переместиться в А*, а точка В не изменит своего положения. Положение проекции А*₂ находится на пересечении фронтальной проекции траектории перемещения точки А (прямая линия параллельная оси x) и линии связи проведенной из проекции А*₁. Полученная проекция отрезка В₂ А*₂ определяет его действительные размеры.

а) модель б) эпюр

Рисунок 146. Определение натуральной величины отрезка методом вращения вокруг оси,

перпендикулярной горизонтальной плоскости проекций

Метод вращения вокруг оси, параллельной плоскости проекций

Рассмотрим этот метод на примере определения угла между пересекающимися прямыми (рис.147). Рассмотрим две проекции пересекающихся прямых а и в, которые пересекаются в точке К. Для то, чтобы определить натуральную величину угла между этими прямыми необходимо произвести преобразование ортогональных проекций так, чтобы прямые стали параллельны плоскости проекций. Воспользуемся способом вращения вокруг линии уровня - горизонтали. Проведем произвольно фронтальную проекцию горизонтали h₂ параллельно оси Ох, которая пересекает прямые в точках А₂ и В₂ . Определив проекции А₁ и В₁, построим горизонтальную проекцию горизонтали h₁ .

а) модель б) эпюр

Рисунок 147. Определение угла между пересекающимися прямыми, вращением вокруг оси

параллельной горизонтальной плоскости проекций

Траектория движения всех точек при вращении вокруг горизонтали - окружность, которая проецируется на плоскость П₁ в виде прямой линии перпендикулярной горизонтальной проекции горизонтали.

Таким образом, траектория движения точки К₁ определена прямой К₁О₁, точка О -центр окружности - траектории движения точки К. Чтобы найти радиус этой окружности, методом треугольника определим натуральную величину отрезка КО. Продолжим прямую К₁О₁, так чтобы |КО|=|О₁К*₁|. Точка К*₁ соответствует точке К , когда прямые а и в лежат в плоскости параллельной П₁ и проведенной через горизонталь - ось вращения, следовательно угол  - натуральная величина угла между прямыми а и в.

Метод замены плоскостей проекций

Изменение взаимного положения изучаемого объекта и плоскостей проекций достигается путем замены одной из плоскостей П₁ или П₂ новой плоскостями П₄ (рис. 148). Новая плоскость всегда выбирается перпендикулярно оставшейся плоскости проекций.

Для решения некоторых задач может потребоваться двойная замены плоскостей проекций (рис. 149). Последовательный переход от одной системы плоскостей проекций к другой необходимо осуществлять, выполняя следующее правило: расстояние от новой проекции точки до новой оси должно равняться расстоянию от заменяемой проекции точки до заменяемой оси.

Задача 1: Определить натуральную величину отрезка АВ прямой общего положений (рис. 148). Из свойства параллельного проецирования известно, что отрезок проецируется на плоскость в натуральную величину, если он параллелен этой плоскости.

Выберем новую плоскость проекций П₄, параллельно отрезку АВ и перпендикулярно плоскости П₁. Введением новой плоскости, переходим из системы плоскостей П₁П₂ в систему П₁П₄ , причем в новой системе плоскостей проекция отрезка А₄ В₄ будет натуральной величиной отрезка АВ.

а) модель б) эпюр

Рис. 148. Определение натуральной величины отрезка прямой методом замены плоскостей проекций

Задача 2: Определить расстояние от точки А до прямой общего положения, заданной отрезком АВ (рис._149).

а) модель б) эпюр

Рисунок 149. Определение расстояния от точки до прямой общего положения методом замены плоскостей проекций