6.3 Взаимное расположение точки и плоскости

Возможны два варианта взаимного расположения точки и плоскости: либо точка принадлежит плоскости, либо нет.

а) модель б) эпюр

Рисунок 62. Точка, принадлежащая плоскости

Через точку А₂ проведем проекцию прямой m₂, пересекающую проекции прямых a₂ и b₂  в точках С₂ и В₂ (С m). Построив проекции точек С₁ и В₁, определяющие положение m₁, находим горизонтальную проекцию точки А (А₁ m₁ m  А).

6.4 Взаимное расположение плоскостей

Взаимное расположение двух плоскостей

Две плоскости в пространстве могут быть либо параллельны, в частном случае совпадать друг с другом, либо пересекаться. Взаимно перпендикулярные плоскости представляют собой частный случай пересекающихся плоскостей.

Параллельные плоскости

Плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.

Это определение хорошо иллюстрируется задачей, через точку В провести плоскость параллельную плоскости, заданной двумя пересекающимися прямыми (a,b)  (рис.63).

Задача. Дано: плоскость общего положения, заданную двумя пересекающимися прямыми (a,b) и точка В.

Требуется через точку В провести плоскость, параллельную плоскости (a,b)  и задать её двумя пересекающимися прямыми c и d.

Согласно определения, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны между собой.

Для того, чтобы провести на эпюре параллельные прямые необходимо воспользоваться свойством параллельного проецирования - проекции параллельных прямых - параллельны между собой.

d//a, с//b d_a_ с₁//b₁; _a_  с₂//b₂; _a_ с₃//b₃.

а) модель б) эпюр

Рисунок 63. Параллельные плоскости

пересекающиеся плоскости

а) модель б) эпюр

Рисунок 64. Пересечение плоскости общего положения с горизонтально проецирующей плоскостью

Некоторого упрощения при построении линии пересечения плоскостей можно достичь, если вспомогательные секущие плоскости проводить через прямые, задающие плоскость. В этом случае точки, определяющие положение линии пересечения плоскостей, находятся как точки пересечения прямой и плоскости.

Взаимно перпендикулярные плоскости

Частный случаем пересечения плоскостей являются взаимно перпендикулярные плоскости.

Из стереометрии известно, что две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через перпендикуляр к другой. Через точку А можно провести множество плоскостей, перпендикулярных данной плоскости (h,f).

а) модель б) эпюр

Рисунок 66. Взаимно перпендикулярные плоскости

Эти плоскости образуют в пространстве пучок плоскостей, осью которого является перпендикуляр опущенный из точки А на плоскость . Для того, чтобы через точку А провести плоскость, перпендикулярную плоскости (h,f), необходимо из точки А провести прямую n, перпендикулярную плоскости (h,f), (горизонтальная проекция n₁ перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали h₁, фронтальная проекция n₂ перпендикулярна фронтальной проекции фронтали f₂). Любая плоскость, проходящая через прямую n будет перпендикулярна плоскости (h,f), поэтому для задания плоскости через точку А проводим произвольную прямую m. Плоскость заданная двумя пересекающимися прямыми (m,n), будет перпендикулярна плоскости (h,f)(рис.66).