128

Инженерная и

компьютерная графика

Раздел

Начертательная геометрия

Курс лекций

Оглавление

Лекция 1. Введение в начертательную геометрию. Методы проецирования 4

1.1 Предмет начертательной геометрии 4

1.2 Из истории начертательной геометрии 6

1.3 Виды проецирования 7

1.4 Проекции с числовыми отметками 9

Лекция 2. Точка в ортогональной системе координат 10

2.1 Метод Монжа 10

2.2 Проекция точки 10

2.3 Точка в ортогональной системе двух плоскостей проекций 11

2.4 Точка в ортогональной системе трех плоскостей проекций 12

2.5 Взаимное расположение точек 15

Лекция 3. Прямая линия 17

3.1 Прямая линия и способы ее графического задания 17

3.2 Положение прямой линии относительно плоскостей проекций 21

3.3 Следы прямой линии 25

Лекция 4. Взаимное расположение объектов 26

4.1 Взаимное расположение точки и прямой 26

4.2 Взаимное расположение прямых 28

Деление отрезка прямой в заданном соотношении 28

Определение длины отрезка прямой и углов наклона прямой к плоскостям проекций 29

Взаимное расположение двух прямых 30

4.3 Проекции плоских углов 37

Лекция 5. Плоскости 39

5.1 Способы задания плоскостей 39

5.2 Положение плоскости относительно плоскостей проекций 43

5.3 Следы плоскости 48

Лекция 6. Взаимное расположение точки, прямой и плоскости 50

6.1 Взаимное расположение прямой и плоскости 50

6.2 Главные линии плоскости 51

6.3 Взаимное расположение точки и плоскости 59

6.4 Взаимное расположение плоскостей 60

Лекция 7. Многогранники 63

7.1 Виды Многогранников 63

7.2 Пересечение плоскости с многогранником 66

7.3 Пересечение прямой линии с многогранником 68

7.4 Взаимное пересечение многогранников 69

Лекция 8. Кривые линии 72

8.1 Плоские кривые линии 73

7.2 Построение касательной и нормали к плоской кривой 79

8.3 Кривизна кривой линии 82

8.4 Свойства ортогональных проекций кривой 83

Пространственные кривые линии 83

Лекция 9. Поверхность 84

9.1 Образование и задание поверхности на чертеже 85

9.2 Взаимное расположение линии и поверхности 89

Лекция 10. Принадлежность точки поверхности 91

10.1 Взаимное расположение плоскости и поверхности 92

10.2 Взаимное пересечение поверхностей 98

Пересечение конуса и призмы 98

Пересечение полусферы и эллиптического цилиндра 99

10.3 Частные случаи пересечения поверхностей второго порядка 99

Поверхность, касательная к поверхности 101

Лекция 11. Развертка поверхности и алгоритмы решения задач начертательной геометрии 102

11.1 Развертка поверхности многогранников 102

11.2 Развертка цилиндрической и конической поверхностей 105

11.3 Алгоритмы решения задач начертательной геометрии 106

Методы преобразования ортогональных проекций 107

Лекция 12. Метод вспомогательных секущих поверхностей посредников 115

12.1 Метод вспомогательных секущих плоскостей 115

12.2 Метод вспомогательных секущих сфер 116

12.3 Аксонометрические проекции 122

Литература 128

Лекция 1. Введение в начертательную геометрию. Методы проецирования

1.1 Предмет начертательной геометрии

В математическом энциклопедическом словаре дается следующее определение: «Начертательная геометрия – раздел геометрии, в котором пространственные фигуры, а также методы решения и исследования пространственных задач изучаются с помощью их изображений на плоскости».

Методы начертательной геометрии являются теоретической базой для решения задач технического черчения. В технике чертежи являются основным средством выражения человеческих идей. Они должны не только определять форму и размеры предметов, но и быть достаточно простыми и точными в графическом исполнении, помогать всесторонне исследовать предметы и их отдельные детали. Для того чтобы правильно выразить свои мысли с помощью рисунка, эскиза, чертежа требуется знание теоретических основ построения изображений геометрических объектов, их многообразие и отношения между ними, что и составляет предмет начертательной геометрии.

Изображение фигуры на плоскости как графический способ представления информации о ней имеет преимущества в сравнении с другими способами:

– общение становится более доступным, потому что образы, создаваемые на основе визуального (зрительного) восприятия, обладают большей, чем слова, ассоциативной силой;

– изображения являются интернациональным языком общения, тогда как, например, вербальное общение требует для понимания, как минимум знания языка собеседника.

Таким образом теоретические основы визуализации информации о геометрических объектах, многообразие геометрических объектов пространства, отношения между ними и их графического отображения на плоскости составляют предмет начертательной геометрии.

Задача этой науки – создание оптимальных геометрических форм объектов машиностроения, архитектуры и строительства, разработка теории графического отображения объектов и процессов.

Начертательная геометрия со времен ее основоположника Г. Монжа (1746-1818)  завоевала свое достойное место в высшей школе как наука. Важнейшее прикладное значение начертательной геометрии как учебной дисциплины состоит в том, что она учит владеть графическим языком, выполнять и читать чертежи и другие изображения геометрических объектов, без чего немыслимо формирование инженера. Она обеспечивает преемственность между школьными курсами геометрии и черчения и графическими дисциплинами вуза.

Изучение начертательной геометрии способствует развитию пространственного воображения и навыков правильного логического мышления. Совершенствуя нашу способность - по плоскому изображению мысленно создавать представления о форме предмета и наоборот создание изображений мысленно созданных образов – визуализация мысли.

Однако не всякое изображение отображает геометрические свойства оригинала и не может быть принято для всестороннего его исследования. Принципиальное отличие методов изображения, изучаемых в курсе начертательной геометрии, от некоторых современных технических средств отображения (фотография, голография и др.), заключается в возможности с большой наглядностью и метрической достоверностью отобразить не только существующие предметы, но и возникающие в нашем представлении образы проектируемого объекта.

Изображение, которое позволяет определять взаимосвязь (взаимопринадлежность) элементов объекта, называют полным.

Изображения, по которым можно определить размеры объекта, называется метрически определенными.

Из плоскостных изображений объекта наиболее широкое применение в практике получили рисунки и чертежи. Рисунком называют изображение предмета от руки и на глаз с кажущимися относительными размерами и положениями отдельных его элементов. Чертежом называют изображение предмета, построенное по особым правилам с помощью чертежных инструментов в точной зависимости от размеров и положения в пространстве соответствующих линий предмета.

В технике чертежи являются основным средством выражения человеческих идей. Они должны не только определять форму и размеры предметов, но и быть достаточно простыми и точными в графическом исполнении, помогать всесторонне, исследовать предметы и их отдельные детали.

Эти требования к чертежам и привели к созданию теории изображений, составляющей основу начертательной геометрии. Правила построения изображений основаны на методе проекций. Поэтому проекционный метод построения изображений является основным методом начертательной геометрии

Итак, в курсе начертательной геометрии изучаются:

• методы отображения пространственных объектов на плоскости;

• способы графического и аналитического решения различных геометрических задач;

• приемы увеличения наглядности и визуальной достоверности изображений проецируемого объекта;

• способы преобразования и исследования геометрических свойств изображенного объекта;

• основы моделирования геометрических объектов.

Начертательная геометрия является одной из фундаментальных наук, составляющих основу инженерно-технического образования. Она изучает методы изображений пространственных геометрических фигур на плоскости и способы решения метрических и позиционных задач. Они (задачи) используются при конструировании сложных поверхностей технических форм в различных отраслях промышленности и науки.

Эти методы начертательной геометрии позволяют решать многие прикладные задачи специальных инженерных дисциплин (механики, химии, кристаллографии, картографии, инструментоведения и др.) Они широко используются при проектировании и изображении различных конструкций и сооружений.

Конструирование сложных форм поверхностей, автоматизированное проектирование и компьютерная графика находят все большее применение при создании современной техники, но без основ начертательной геометрии, которая формирует и развивает у человека пространственное мышление немыслимо никакое инженерное творчество.

Для обозначения геометрических фигур и их проекций, для отображения отношения между ними, а также для краткости записи геометрических предложений и решения задач в начертательной геометрии предлагается пользовать геометрический язык, в состав которого включены следующие обозначения и символы.

Геометрическая фигура - Ф.

Точки обозначаются прописными буквами латинского алфавита или арабскими цифрами:

A, B, C, D, ...,L, M, N, ...

1, 2, 3, 4, ..., 12, 13, 14, ...

Линии, произвольно расположенные по отношению к плоскостям проекций, обозначаются строчными буквами латинского алфавита:

a, b, c, d, ...,l, m, n, ...

Линии уровня обозначаются: h - горизонталь; f - фронталь; p - профильная прямая;

Для прямых используются также следующие обозначения:

(AB) - прямая, проходящая через точки A и B;

[AB) - луч с началом в точке А;

[AB] - отрезок прямой, ограниченный точками A и B.

Поверхности обозначаются строчными буквами греческого алфавита:

α, β, γ, δ, ..., ζ, η, λ, ...

Чтобы подчеркнуть способ задания поверхности, следует указывать геометрические элементы, которыми она определяется, например:

α (a║b) - плоскость α определяется параллельными прямыми a и b;

β (d₁d₂g α) - поверхность β определяется направляющими d₁ и d₂, образующей g и плоскостью параллелизма α.

Углы обозначаются:

АВС - угол с вершиной в точке В, а также αº, βº, ..., φº, ..,

Угловая величина (градусная мера) обозначается знаком, который ставится над углом:

φº - величина угла φ.

Прямой угол отмечается квадратом с точкой внутри.

Для плоскостей проекций приняты обозначения: π₁ π₂ π₃ или П₁ , П₂ , П₃,

где π₁ - горизонтальная плоскость проекций;

π₂ - фронтальная плоскость проекций;

π₃ - профильная плоскость проекций;

При замене плоскостей проекций или введении новых плоскостей проекций последние обозначаются π₄, π₅ и т.д.

Оси проекций обозначаются: x, y, z, где x - ось абсцисс; y- ось ординат; z - ось аппликат.

Проекции точек, линий поверхностей, любой геометрической фигуры обозначаются теми же буквами (или цифрами), что и оригинал, с добавлением нижнего индекса, соответствующего плоскости проекций, на которой они получены:

A₁, B₁, C₁, D₁, ...,L₁, M₁, N₁, ... - горизонтальные проекции точек;

A₂, B₂, C₂, D₂, ...,L₂, M₂, N₂, ... - фронтальные проекции точек;

A₃, B₃, C₃, D₃, ...,L₃, M₃, N₃, ...- профильные проекции точек;

а₁, b₁, c₁, d₁, ...,l₁, m₁, n₁, ... - горизонтальные проекции линий;

a₂, b₂, c₂, d₂, ...,l₂, m₂, n₂, ... - фронтальные проекции линий;

a₃, b₃, c₃, d₃, ...,l₃, m₃, n₃, ... - профильные проекции линий;

α₁, β₁, γ₁, δ₁, ..., ζ₁, η₁, λ₁, ...- горизонтальные проекции поверхностей;

α₂, β₂, γ₂, δ₂, ..., ζ₂, η₂, λ₂, ...- фронтальные проекции поверхностей;

α₃, β₃, γ₃, δ₃, ..., ζ₃, η₃, λ₃, ...- профильные проекции поверхностей.

Следы прямых (линий) обозначаются прописными буквами, с которых начинаются слова, определяющие название (в латинской транскрипции) плоскости проекций, которую пересекает линия.

Например:   H - горизонтальный след прямой (линии) а;

F - фронтальный след прямой (линии) а;

P - профильный след прямой (линии) а.

Следы плоскостей (поверхностей) обозначаются теми же буквами, что горизонталь и фронталь, с добавлением верхнего индекса, подчеркивающего, что эти линии лежат в плоскости проекций и принадлежат плоскости (поверхности).

Например:   h⁰ - горизонтальный след плоскости (поверхности);

f⁰ - фронтальный след плоскости (поверхности);

p⁰ - профильный след плоскости (поверхности).

Основные операции:

║- параллельность элементов;

≡ - совпадение двух геометрических элементов;

┴ - перпендикулярность элементов;

^ - знак, соответствующий союзу «и»;

= - результат геометрической операции;

∩ - пересечение двух элементов;

- знак принадлежности и включения для точки;

 - знак объединения;

 - принадлежность одного геометрического элемента другому;

- скрещивающиеся прямые.