7.4.2. Экспоненциальное распределение

Экспоненциальное распределение применяется для описания частости автомобилей, проходящих через сечение дороги, а также частости интервалов между автомобилями. Такое распределение характерно для внезапных отказов элементов и систем автомобиля. Плотность вероятности экспоненциального распределения задается уравнением

, , , x > 0 , (7.34)

где   параметр распределения, являющийся строго положительной константой.

Среднее значение и среднеквадратическое отклонение σ экспоненциального распределения совпадают и равны обратному значению параметра = = 1/. Графики функций F(х) и f(x) приведены на рис. 7.12.

Основное свойство экспоненциального закона состоит в том, что при нем вероятность безотказной работы на данном интервале не зависит от времени предшествующей работы, а зависит от длины интервала. Это значит, что будущее поведение автомобиля не зависит от прошлого, если в данный момент он исправлен.

7.5. Представление распределения скоростей автомобилей в транспортном потоке

При моделировании потоков используют законы распределения их параметров. Фактические данные о распределениях параметров транспортных потоков на магистрали можно получить лишь экспериментальным путем.

Р ассмотрим экспериментальное измерение распределения скоростей автомобилей в транспортном потоке и обработку получаемых результатов.

Методика измерения

Для измерения скоростей автотранспортных средств обычно применяют радары. Они позволяют замерить скорость одиночного автомобиля и автомобиля, движущегося в группе. Погрешность измерения скорости радаром не превышает 1 км/ч. Скорость можно измерять на расстоянии до 300 м. Наименьшее значение скорости обычно ограничено величиной 20 км/ч, наибольшее значение составляет 200 км/ч.

При измерении используют метод стационарных наблюдений. Этим методом также пользуются при измерении пространственных и временных интервалов между автомобилями. В контрольном сечении дороги с равномерным потоком проводят замеры, при этом обеспечивают большое число замеров и их случайный порядок. В сводку наблюдений вносят номера автомобилей, скорости движения и диапазоны скоростей, в которых располагаются скорости автомобилей.

Обработка результатов измерений

Фактический диапазон скоростей автомобилей разбивают на интервалы. Затем находят частоту n – число автомобилей, скорость которых располагается в каждом интервале. Сумма частот должна быть равна числу автомобилей. Находят частости, равные отношениям частоты к числу автомобилей. Частость соответствует вероятности события, заключающегося в том, что скорость автомобиля располагается в заданном интервале. Сумма частостей должна быть равна единице.

Находят накопленную частость на заданных интервалах, которая равна числу автомобилей (в %), скорость которых меньше средней скорости интервала. Для диапазона, соответствующего максимальной скорости, накопленная частость равна 1.

В табл. 7.1 представлены результаты обработки наблюдений для 100 автомобилей с 8 интервалами скоростей их движения.

Таблица 7.1. Распределение скоростей движения автомобилей

Диапазоны, км/ч	Частота	Частость	Накопленная частость	vc, км/ч
1 0 – 40	2	0,02	0,02	20
2 40 – 50	6	0,06	0,08	45
3 50 – 60	20	0,20	0,28	55
4 60 – 70	36	0,36	0,64	65
5 70 – 80	22	0,22	0,86	75
6 80 – 90	10	0,10	0,96	85
7 90 – 100	4	0,04	1,00	95
8 > 100	0	0	1,00	105
Сумма	100	1,00

Результаты представляют в виде гистограмм. Для построения графиков вычисляют среднее значение скорости vc на интервалах. Они указаны в последнем столбце табл. 7.1. Примеры построения гистограмм показаны на рис. 7.13 – 7.15. По гистограммам легко видеть, что 36% автомобилей превышают скорость 60 км/ч.

Гистограммы также представляют в виде графиков. Для этого используют средние значения скоростей v_c на интервалах (см. табл. 7.1). Значения частостей отражают на графике точками (рис. 7.16). Точки соединяют прямыми линиями.