169

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное

образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Пермский национальный исследовательский

политехнический университет»

А.И. Цаплин

Математические модели движения

транспортных средств

Утверждено

Редакционно-издательским советом университета

в качестве учебного пособия

Издательство

Пермского национального исследовательского

политехнического университета

2015

УДК 001(075.8)

ББК 72:30я73

В 25

Рецензенты:

Хрипченко С.Ю., доктор технических наук, профессор, ведущий научный сотрудник Института механики сплошных сред УрО РАН.

Балабанов Д.С., кандидат технических наук, заведующий кафедрой технических дисциплин Лысьвенского филиала Пермского национального исследовательского политехнического университета.

Цаплин А.И.

В 25 Математические модели движения транспортных средств / А.И. Цаплин. – Перм. нац. исслед. политехн. ун-т. – Пермь, 2015. – 172 с.

ISBN

Рассмотрены теоретические основы математического моделирования транспортной инфраструктуры, необходимые для изучения дисциплин в техническом вузе при подготовке бакалавров по направлению «Эксплуатация транспортно-технологических машин и комплексов». Даны основные характеристики движения транспортных средств, математические формулировка задач стохастического и детерминированного моделирования на микро- и макроуровнях, рассмотрены примеры теории подобия, а также основы вычислительного компьютерного эксперимента Представлены варианты заданий для курсовой работы, тест для самоконтроля уровня обученности. Предназначено для студентов технических вузов. Может быть полезным для аспирантов и преподавателей вузов.

УДК 53(0758)

ББК 22.3

ISBN 978-5-398-00898-2  ПНИПУ, 2015

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение……………………………………………………………………….	5
Теоретические основы математического моделирования транспортной инфраструктуры……………………………………………………………	8
Проблемы в управлении дорожным движением…………………..	8
Методы моделирования транспортных систем…………………….	10
Классификация моделей………………………………………………	13
Классификация математических моделей…………………………..	16
Этапы разработки математических моделей……………………….	19
Вопросы для самоконтроля………………………………………….	19
Основные характеристики движения транспортных средств…………..	20
2.1 Параметры транспортного потока………………………………….	21
2.2. Макроскопические модели транспортного потока………….........	28
2.3. Микроскопические модели транспортного потока……………….	34
2.4. Вопросы для самоконтроля…………………………………………	38
3. Движение транспортных средств на перекрестках……………………..	39
3.1. Типы перекрестков. Анализ конфликтных точек………………….	39
3.2. Определение сложности и опасности перекрестка………………..	41
3.3. Круговое движение на пересечениях………………………………	44
3.4. Управляющие параметры светофорной сигнализации…………..	46
3.5. Пропускная способность регулируемого перекрестка……………	48
3.6. Задержки автомобилей при регулярном транспортном потоке…	51
3.7. Вопросы для самоконтроля…………………………………………	53
4. Транспортные заторы……………………………………………………..	53
4.1.  Одиночные пробки…………………………………………………..	54
4.2. Серия пробок………………………………………………………….	54
4.3.  Классификация фаз потока………………………………………….	55
4.4  Причина затора – геометрические особенности дороги………….	57
4.5  Задержки транспортных средств……………………………………	58
4.6  Множественные устойчивые состояния и хаос…………………….	58
4.7. Вопросы для самоконтроля…………………………………………..	60
5. Моделирование тягово-скоростных свойств транспортных средств…..	60
5.1. Силы, действующие на автомобиль при прямолинейном движении……	60
5.2. Уравнение прямолинейного движения автомобиля……………….	67
5.3. Динамика автомобиля, транспортирующего емкости с жидкостью.	70
5.3.1. Динамика торможения автомобиля при движении по прямой.	72
5.3.2. Динамики равномерного движения автомобиля по повороту..	74
5.3.3. Расчет дополнительных усилий, вызванных движением жидкости в баках…………………………………………………	75
5.4. Вопросы для самоконтроля…………………………………………	79
6. Моделирования транспортных средств на микроуровне………………	80
6.1. Основы построения математических моделей на микроуровне….	80
6.2. Моделирование тепловых систем……………………………………	83
6.3. Технология вычислительного эксперимента……………………….	88
6.3.1. Основы метода сеток……………………………………………	90
6.3.2. Схемы аппроксимации уравнения теплопроводности………..	93
6.3.3 Решение сеточных уравнений…………………………………..	96
6.4. Основы теории подобия и моделирования…………………………	99
6.4.1.Подобие физических явлений…………………………………..	99
6.4.2.Числа подобия при моделировании обтекания автомобиля…	102
6.5. Вопросы для самоконтроля………………………………………….	109
7. Основные понятия стохастического моделирования……………………	111
7.1. Моделирование в условия неопределенности……………………..	111
7.2. Функция и плотность распределения случайной величины……….	113
7.3.Меры положения и рассеяния кривой распределения…………….	119
7.4.Теоретические законы распределения………………………………	123
7.4.1. Закон нормального распределения (закон Гаусса)………….	123
7.4.2. Экспоненциальное распределение…………………………….	129
7.5. Представление распределения скоростей автомобилей в транспортном потоке …………………………………………………	130
7.6. Основы корреляционного и регрессионного анализа…………….	133
7.6.1. Метод наименьших квадратов…………………………………	135
7.6.2. Выборочный коэффициент корреляции………………………	136
7.7.Вопросы для самоконтроля…………………………………………..	137
8.Материалы для самостоятельной работы………………………………..	138
8.1.Курсовая работа………………………………………………………...	138
8.2. Методические рекомендации по выполнению курсовой работы…	140
8.3. Пример выполнения курсовой работы……………………………..	147
8.4.О приближенных вычислениях………………………………………	163
8.5.Тест для проверки уровня обученности……………………………..	165
Список литературы…………………………………………………………….	168
Приложение 1. Пример титульного листа курсовой работы………………	170
Приложение 2. Нормированная функция Лапласа…………………………	171

Введение

Учебное пособие предназначено для методического обеспечения подготовки студентов (бакалавров) по дисциплине «Математические модели движения транспортных средств» в соответствии с требованиями федерального государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по направлению подготовки 190600.62 – Эксплуатация транспортно-технологических машин и комплексов».

Целью изучения дисциплины «Математические модели движения транспортных средств» является освоение дисциплинарных компетенций, формирование знаний в области принятия оптимальных управленческих решений по выбору и обоснованию рациональных способов организации транспортного процесса.

В результате изучения дисциплины студент должен обладать следующими компетенциями:

• использование основных законов естественнонаучных дисциплин в профессиональной деятельности, применение методов математического анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования (ОК-10);

• владение знаниями организационной структуры, методов управления и регулирования, критериев эффективности применительно к конкретным видам транспортных и технологических машин (ПК-13);

• владение знаниями технических условий и правил рациональной эксплуатации транспортной техники, причин и последствий прекращения ее работоспособности (ПК-15);

Для современного общества характерно постоянное увеличение объема транспортного сообщения, возрастание требований к повышению его надежности, безопасности и качества. Это предполагает увеличения затрат на улучшение инфраструктуры транспортной сети, превращения ее в гибкую, регулируемую систему. При этом риск инвестиций значительно возрастает, если не учитывать закономерности развития транспортной сети, распределение загрузки ее участков. Сложившиеся диспропорции между темпами развития улично-дорожной сети и темпами роста количества автотранспорта приводят к ухудшению условий движения, заторам, росту задержек и увеличению расхода топлива, ухудшению экологической обстановки, социальному дискомфорту.

Для поиска эффективных стратегий управления транспортными потоками в городе, оптимальных решений по проектированию улично-дорожной сети и организации дорожного движения необходимо учитывать широкий спектр характеристик транспортного потока, закономерности влияния внешних и внутренних факторов на динамические характеристики смешанного транспортного потока.

Теория транспортных потоков развивалась исследователями различных областей знаний – физиков, математиков, специалистов по исследованию операций, транспортников, экономистов. Накоплен большой опыт исследования процессов движения. Однако нестабильность и многообразие транспортного потока, противоречивость критериев качества управления дорожным движением, непредсказуемость и случайный характер дорожно-климатических условий делает управление дорожным движением всегда сложным и приближенным. Наиболее эффективно проектирование оснащенности городов техническими средствами организации движения и автоматизированными системами управления достигается с применением математического моделирования движения транспортных средств. Поэтому в учебном пособии рассматриваются различные аспекты такого моделирования.

Оптимизация движения транспортных средств предполагает описание не только детерминированных процессов, связанных, например, с моделированием тягово-скоростных свойств автомобиля, но и стохастических процессов организации движения потоков автомобилей, плотность которых носит случайный характер.

Сложность задач, решаемых при проведении исследований, обусловливает применение не только приближенных методов моделирования, но и компьютерных технологий при реализации математических моделей. Поэтому для современного специалиста важно не только умение проводить обработку экспериментальных данных по изучению транспортных потоков, но и понимание проблем вычислительного эксперимента, умение использовать компьютер для реализации математической модели.

Основная задача учебного пособия состоит в том, чтобы в рамках предлагаемого курса не только познакомить студентов технического университета с основами предмета, но и побудить у них интерес к методам теоретических и экспериментальных исследований, закрепить навыки расчета интенсивности движения на участке пересечения дорог (перекрестке) в рамках курсовой работы.

Небольшой объем учебного пособия обусловил ограничения при изложении методов моделирования транспортных потоков и заставил прибегнуть к физическому уровню строгости изложения. Сознательный уход от подробного изложения материала предполагает акцент на самостоятельную работу с углубленным изучением предмета, которую можно продолжить, пользуясь приведенным списком литературы.

Самотестирование осуществляется по контрольным вопросам, которые приведены в конце каждого раздела учебного пособия, в заключение дан пример теста для проверки уровня обученности.

1. Теоретические основы математического моделирования

транспортной инфраструктуры

1. Проблемы в управлении дорожным движением

К современным дорожным сетям предъявляются требования сглаживания транспортных потоков и обеспечения безопасности движения транспортных средств и пешеходов. Быстрый рост транспортного спроса привел к значительному повышению объемов движения и транспорт­ным заторам, первоначальные функции дорожных сетей посте­пенно утратились, в то время как их отрицательные влияния на жизнь человека, в числе которых повышение числа дорожно-транспортных происшествий (ДТП) и загрязнение окружающей среды, стали все более заметными.

Решение этих проблем может быть найдено ли­бо путем бесконечного расширения дорожной сети, либо путем создания новых транспортных систем, которые смогут заменить автомобили. Но первый вариант требует чрезмерно больших капитальных вложений, в то время как для решения задачи по созданию новых транспортных систем в настоящее время не существует продук­тивных идей.

Существует также ряд дополнительных проблем, вызванных к жизни уникальным характером дорожного движения. Первой из этих проблем является сложность дорожной сети, образовав­шейся в процессе исторического развития намного раньше появ­ления плотных высокоскоростных транспортных потоков. Вторая проблема вызвана индивидуальным характером автомобильных перевозок. Каждый автомобиль, как правило, управляется без заранее заданного маршрута и графика движения. Третья пробле­ма возникает из-за относительной дешевизны автомобиля, который намного легче купить, чем самолет, теплоход или железнодорож­ный поезд. Поэтому сложная и дорогая система управления не может быть установлена на автомобиле, а должна быть принад­лежностью дороги и управлять движением автомобилей, находя­щихся на ней в данное время.

Высокая степень насыщения сети дорог автомобилями и социально-экономическая роль дорожного дви­жения делают здесь проблемы управления особенно серьезными. Так, расширение возможностей дорожной сети запаздывает по отношению к росту транспортного спроса и приводит к повыше­нию плотности потоков. Транспортные заторы начинают носить хронический характер и создают возможность появления неуправ­ляемого хаоса и серьезных катастроф. Отсюда ясно, что необхо­дима как высокоэффективная система управления в нормальных ситуациях, так и политика, позволяющая избегать и устранять необычные хаотические ситуации.

Значительные по широте охвата регулирующие воз­действия на движение автомобилей неизбежно оказывают замед­ляющее влияние на социальную и экономическую деятельность, поэтому единственной приемлемой альтернативой сегодня являются дейст­вия, направленные на более эффективное использование сущест­вующей дорожной сети для движения транспортных потоков.

Совокупность этих сложных действий называется управлением дорожным движением.

Большие усилия уже были предприняты в различных облас­тях управления дорожным движением, в частности хорошие ре­зультаты дало применение систем управления движением с помо­щью светофорной сигнализации. Однако суще­ственный эффект не может быть получен путем раздельного уп­равления изолированными перекрестками в районе, в котором плотность расположения светофоров велика. Отсюда вытекает требование к коллективному, систем­ному управлению сигналами светофоров. Значительный эффект получается уже за счет управления сигналами светофоров на последующих друг за другом перекрестках одной магистральной улицы.

Так как дорожное движение в городах носит двумер­ный характер, и это свойство имеет тенденцию к расширению и на пригородные районы, появилась необходимость в централизован­ном управлении совокупностью перекрестков, распределенных по большим двумерным районам.

Для этой цели требуется использование развитой техники сбо­ра и передачи значительных объемов информации и обработки ее с высокой скоростью, чтобы управлять большим числом сигналов светофоров, основываясь на результатах этой обработки.

Появляются системы управления дорожным движением в боль­ших городских районах с типичными конфигурациями управляю­щих вычислительных систем, работающих в реальном масштабе времени.

Такие системы перерастают в многофункциональные системы управления, включающие, например, отображение инфор­мации, дающее возможность оператору вмешиваться в ав­томатическое управление, или системы информационного обслу­живания, которые обеспечивают водителей информацией о возни­кающих в дорожном движении ситуациях.