1. Ознака перпендикулярності площин

Дві площини, що перетинаються, називаються перпендикулярними, якщо третя площина, перпендикулярна до прямої перетинання цих площин, перетинає їх по перпендикулярних прямих.

На малюнку 44, а ви бачите дві перпендикулярні площини α і β, що перетинаються по прямій с. Площина γ, перпендикулярна до прямої с, перетинає площини α і β по перпендикулярним прямим а і b.

Будь-яка площина, перпендикулярна до лінії перетину перпендикулярних площин, перетинає їх по перпендикулярних прямих.

Дійсно, якщо взяти іншу площину γ', перпендикулярну до прямої с, то вона перетне площину α по прямій а', перпендикулярній до с, а виходить, паралельній прямій а, а площину β — по прямій b', перпендикулярній до с, отже, паралельній прямій b (мал. 44, б). За теоремою 3.1 з перпендикулярності прямих а і b випливає перпендикулярність прямих а' і b', що й було потрібно довести.

Теорема 3.6. Якщо площина проходить через пряму, перпендикулярну до другої площини, те ці площини перпендикулярні.

Доведення. Нехай α — площина, b — пряма, перпендикулярна до цієї площини, β — площина, що проходить через пряму b, і с — пряма, по якій перетинаються площини α і β (мал. 45). Доведемо, що площини α і β перпендикулярні.

Проведемо в площині α через точку перетину прямої b з площиною α пряму а, перпендикулярну до прямої с. Проведемо через прямі а і b площина γ. Вона перпендикулярна до прямої с, тому що пряма с перпендикулярна до прямих а і b. Оскільки прямі а і b перпендикулярні, то площини α і β також перпендикулярні. Теорема доведена.

Мал. 44 Мал. 45

2. Відстань між мимобіжними прямими

Спільним перпендикуляром до двох мимобіжних прямих називається відрізок з кінцями на цих прямих, перпендикулярний до кожної з них.

Доведемо, що дві мимобіжні прямі мають спільний перпендикуляр і до того ж тільки один. Він є спільним перпендикуляром до паралельних площин, що проходять через ці прямі.

Дійсно, нехай а і b — дані мимобіжні прямі (мал. 46). Проведемо через них паралельні площини α і β. Прямі, що перетинають пряму а і перпендикулярні до площини α, лежать в одній площині (γ). Ця площина перетинає площину β по прямій а', паралельній а. Нехай В точка перетину прямих а' і b. Тоді пряма АВ, перпендикулярна до площини α, перпендикулярна і до площини β, тому що β паралельна α. Відрізок АВ — спільний перпендикуляр площин α і β, а отже, і прямих а і b.

Доведемо, що цей спільний перпендикуляр єдиний. Припустимо, що прямі а і b мають інший спільний перпендикуляр СD.

Проведемо через точку С пряму b ', паралельну b. Пряма СD перпендикулярна до прямої b, а отже, і до b'. Оскільки вона перпендикулярна до прямої а, то вона перпендикулярна і до площини α, тобто паралельна прямій АВ. Виходить, що через прямі АВ і СD, як через паралельні, можна провести площину. У цій площині будуть лежати наші мимобіжні прямі АС і ВD), а це неможливо, що й треба було довести.

Мал. 46

Відстанню між мимобіжними прямими називається довжина їх спільного перпендикуляра. Вона дорівнює відстані між паралельними площинами, що проходять через ці прямі.